Question

Resolva a inequação modular:
| x² - 4 | > 3x

Answer 1

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Resolver a inequação modular:

$\mathsf{|x^2-4|>3x\qquad\quad(i)}$


•   Vamos verificar quando a expressão do módulo muda de sentença, analisando o sinal da função que aparece no módulo:

$\mathsf{y=x^2-4}\\\\ \mathsf{y=x^2+2x-2x-4}\\\\ \mathsf{y=x(x+2)-2(x+2)}\\\\ \mathsf{y=(x+2)(x-2)}$


Encontrando as raízes da função:

$\mathsf{(x+2)(x-2)=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{x+2=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x-2=0}\\\\ \mathsf{x=-2}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=2} \end{array}$


As raízes são  $\mathsf{x_1=-2~~e~~x_2=2.}$

Montando o quadro de sinais:

$\begin{array}{cc} \mathsf{x+2}&\qquad\mathsf{\underline{~~---}\underset{-2}{\bullet}\underline{++++}\underset{2}{\bullet}\underline{+++~~}_{\blacktriangleright}}\\\\ \mathsf{x-2}&\qquad\mathsf{\underline{~~---}\underset{-2}{\bullet}\underline{----}\underset{2}{\bullet}\underline{+++~~}_{\blacktriangleright}}\\\\\\ \mathsf{(x+2)(x-2)}&\qquad\mathsf{\underline{~~+++}\underset{-2}{\bullet}\underline{----}\underset{2}{\bullet}\underline{+++~~}_{\blacktriangleright}} \end{array}$


Então, concluímos que

$\left\{\! \begin{array}{ll} \mathsf{x^2-4\ge 0}&\mathsf{para~~x\le -2~~ou~~x\ge 2}\\\\ \mathsf{x^2-4<0}&\mathsf{para~~-2<x<2} \end{array} \right.$


Agora vamos resolver a inequação modular dada, dividindo o conjunto universo, de modo que a sentença do módulo não mude no intervalo considerado.

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•   Caso 1.   Para $\mathsf{x\le -2~~ou~~x\ge 2:}$

Aqui temos

$\mathsf{x^2-4\ge 0\quad\Rightarrow\quad|x^2-4|=x^2-4}$


de modo que a inequação fica

$\mathsf{x^2-4>3x}\\\\ \mathsf{x^2-3x-4>0\qquad\quad(ii)}$


Calculando as raízes do lado esquerdo:

$\left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{a=1}\\\mathsf{b=-3}\\\mathsf{c=-4} \end{array} \right.\\\\\\\\ \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-4)}\\\\ \mathsf{\Delta=9+16}\\\\ \mathsf{\Delta=25}$
$\begin{array}{rcl} \mathsf{r_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-(-3)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-(-3)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{3-5}{2}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{3+5}{2}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-2}{2}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{8}{2}}\\\\ \mathsf{r_1=-1}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=4}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(ra\'izes)} \end{array}$


Fatorando o lado esquerdo de $\mathsf{(ii)},$ obtemos

$\mathsf{a(x-r_1)(x-r_2)>0}\\\\ \mathsf{(x-(-1))(x-4)>0}\\\\ \mathsf{(x+1)(x-4)>0\quad\longleftarrow\quad\textsf{inequa\c{c}\~ao-produto}\qquad(iii)}$


Montando o quadro de sinais (ver anexo para o caso 1).


Lembremos que estamos resolvendo a inequação em sobre um intervalo restrito (caso 1).

Como queremos que o lado esquerdo de $\mathsf{(iii)}$ seja positivo, o intervalo de interesse é

$\begin{array}{cc} \mathsf{S_1}&\qquad\mathsf{\underline{~~\cdots\cdots}\underset{-2}{\bullet}\underline{\quad~~}\underset{-1}{\circ}\underline{\qquad\qquad}\underset{2}{\circ}\underline{\qquad}\underset{4}{\circ}\underline{\cdots\cdots~~}_{\blacktriangleright}} \end{array}\\\\\\ \mathsf{x\le-2~~ou~~x>4}$


A solução para o caso 1:   $\mathsf{S_1=\left]-\infty,\,-2\right]\,\cup\,\left]4,\,+\infty\right[.}$

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•   Caso 2.   Para $\mathsf{-2<x<2:}$

Agora temos

$\mathsf{x^2-4<0\quad\Rightarrow\quad|x^2-4|=4-x^2}$


de modo que a inequação fica

$\mathsf{4-x^2>3x}\\\\ \mathsf{x^2+3x-4<0\qquad\quad(iv)}$


De forma análoga ao caso 1, calculando as raízes do lado esquerdo, encontramos

$\begin{array}{rcl} \mathsf{r_1=-4}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=1}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(ra\'izes)} \end{array}$


Fatorando o lado esquerdo de $\mathsf{(iv)},$ obtemos

$\mathsf{a(x-r_1)(x-r_2)<0}\\\\ \mathsf{(x-(-4))(x-1)<0}\\\\ \mathsf{(x+4)(x-1)<0\quad\longleftarrow\quad\textsf{inequa\c{c}\~ao-produto}\qquad(v)}$


Montando o quadro de sinais (ver anexo para o caso 2).


Como queremos que o lado esquerdo de $\mathsf{(iii)}$ seja negativo, o intervalo de interesse é

$\begin{array}{cc} \mathsf{S_2}&\qquad\mathsf{\underline{\qquad}\underset{-4}{\circ}\underline{\quad\quad}\underset{-2}{\circ}\underline{\cdots\cdots\cdots}\underset{1}{\circ}\underline{\quad~~}\underset{2}{\circ}\underline{\qquad\quad}_{\blacktriangleright}} \end{array}\\\\\\ \mathsf{-2<x<1.}$

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A solução da inequação modular é a união das soluções encontradas para cada caso:

$\mathsf{S=S_1\cup S_2}\\\\ \mathsf{S=\left]-\infty,\,-2\right]\,\cup\,\left]4,\,+\infty\right[\,\cup\,\left]-2,\,1\right[}\\\\ \mathsf{S=\left]-\infty,\,1\right[\,\cup\,\left]4,\,+\infty\right[}$


ou em notação usual

$\mathsf{S=\{x\in\mathbb{R}:~x<1~~ou~~x>4\}.}$


Bons estudos! :-)


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