Question

1-Resolva a inequação sin⁡2 x ≥ 1/4 com 0 ≤ x ≤ 2pi. (sugestão faça t= sin x e resolva t^2 ≥ 1/4 )

2-Resolva a equação 2 〖cos〗^(2 )x – sin x – 1 = 0 no intervalo 0 ≤ x ≤ 2pi

3- Calcule o valor da soma ∑_(n=1)^20.241▒i^n , lembrando que i^(2 )= -1

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Answer 1

QUESTÃO 1
Utilizando a sugestão dada no enunciado, se substituirmos sen x por t, podemos resolver uma equação quadrática, que é mais fácil que a trigonométrica.
$senx = t \\ \\ t^2 \geq \dfrac{1}{4} \\ \\ t \geq \sqrt{\dfrac{1}{4}} \\ \\ |t| \geq \dfrac{1}{2}$

Portanto, o módulo de sen x deve ser maior ou igual a 1/2:|sen x| ≥ 1/2
Precisamos da função inversa do seno para encontrar o valor de x:$x = sen^{-1}(\dfrac{1}{2})$

O arco cujo seno é igual a 1/2 é π/6 e 5π/6, para 0 ≤ x ≤ π, e 7π/6 e 11π/6, para π < x ≤ 2π, pela tabela trigonométrica. Então π/6 ≤ x ≤ 5π/6 e 7π/6 ≤ x ≤ 11π/6.


QUESTÃO 2
Pela relação trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1, temos que:
cos²(x) = 1 - sen²(x)

Substituindo na equação:
2(1-sen²(x)) - sen(x) - 1 = 0
2 - 2sen²(x) - sen(x) -1 = 0

Fazendo sen x = y, temos:
2 - 2y² - y - 1 = 0
-2y² - y + 1 = 0

Resolvendo pela fórmula de Bhaskara, temos que:
y' = 1/2
y'' = -1

Para y = 1/2 e pela tabela trigonométrica de ângulos notáveis, temos:
sen(x) = 1/2
x = π/6
x = 5π/6

Para y = -1:
sen(x) = -1
x = 3π/2


QUESTÃO 3
Temos a soma de 20,241 que multiplica i elevado a n, com isso, o valor da soma depende exclusivamente de i^n. Vamos ver o que acontece com as potências de i:

$i^0 = 1 \\ i^1 = i = \sqrt{-1} \\ i^2 = -1 \\ i^3 = i^2i = - \sqrt{-1} = -i \\ i^4 = i^2i^2 = 1 \\ i^5 = i^4i = i$

Perceba que para as potências de i^0 a i^3, temos valores distintos, e que este se repetem a partir de i^4.

Na soma, como n começa em 1, temos que para n = 1:
20,241 * i = 20,241i

Para n = 2:
20,241 * i^2 = -20,241

Para n = 3:
20,241 * i^3 = -20,241i

Para n = 4:
20,241 * i^4 = 20,241

Perceba que somando os valores para n = 1 e n = 3, o resultado é 0 e somando os valores para n = 2 e n = 4, o resultado também é 0. Como estes valores se repetem infinitamente (soma de n = 5 e n = 7, n = 6 e n = 8, e assim por diante), podemos concluir que a soma é igual a 0.