Question

Calcule o valor da soma ∑_(n=1)^20.241▒i^n , lembrando que i^n= -1

Answer 1

Temos que as potências da unidade imaginária, são:

$i^1 = i \\ i^2 = -1 \\ i^3 = -i \\ i^4 - 1 \\ i^5 = i \\ i^6 = -1 \\ i^7 = -i \\ i^8 - 1 \\ \vdots$

Notamos que de quatro em quatro a soma das potências vão se anulando:

$i^1 + i^2 + i^3 + i^4 = i + (-1) +(-i) + 1 = 0$

Logo precisamos descobrir o resultado da unidade imaginária, elevada na potência de $20241$, logo precisamos do resto da divisão de $\frac{20241}{4}$:

$\frac{20241}{4} \to \text{resto } = 1$

Logo:

$i^{20241} = i^1 = i$

Logo percebemos que até $20240$, irá se anular, sobrando apenas $i^{20241}$. Portanto temos:

$\sum\limits_{n=1}^{20241} i^n = i^{20241} = i$