Question

Um carrinho de massa 2kg cai de altura h e descreve a trajetória. O raio da curva é de 16m e a aceleração da gravidade g=10m/s². Determine o menor valor de h para que ocorra o 'looping'. Despreze atritos e resistência do ar.
Resp.: h=2,5R

Answer 1

Resposta h = 2,5 R.
Mas resolvendo em função dos valores da questão.
Para haver o looping é necessário que ele não cai ao fazer o giro.
Mas a velocidade mínima que ele precisa para isto é a situação em que o corpo não comprime a superfície de apoio, isto é, a normal deve ser igual a zero.

Para a normal ser igual a zero se faz então necessário que a força responsável para efetuar a curva seja o seu próprio peso.
Isto faz com que o peso seja igual a Força centrípeta., temos:

P = mg
Fc = mv^2/R       temos ao substituir Fc por P que é mg

mg = mv^2/r   Cancelando o m nos dois lados, temos

g = v^2/R  daqui temos que

v^2 = g.R  chamar de equação I

Vamos analisar a situação do looping.
Considerando que o objeto parte de uma certa altura e ao realizar o Looping ele estará no ponto mais alto dda circunferência na qual ele está realizando o looping. Nesta posição a sua altura em relação ao ponto mais inferior da circunferência é dois rais (2R).
E a velocidade que  ele precisa ter no ponto mais alto do looping é a equação I.

Sabendo que não há atrito temos que há uma conservação da energia mecânica (Em), Onde Em = Ec + Ep
Detalhe como ele vai descer a partir do repouso significa que ele não possui energia cinética, isto nos dá que na altura inicial ele só possui Ep.
Daí temos

Em = Ec = Ep

m.g.h = m.v^2/2 + m.g.h    Substituindo h do lado direito por 2R e substituindo a v^2 pela equação I, temos:

m.g.h = m.g.R/2 + m.g.2R  Cancelando m e g em ambos os lados, pois este termos é comum em todos termos., Daí temos

h = R/2 + 2R   tirando o mmc

h = ( R + 4R) /2

h = 5R/2      h = 2,5R

Esta resposta é geral, isto é, se aplica a qualquer situação onde não há atrito.
Para respondermos a questão basta substituir os dados na equação encontrada
Daí, temos:

h = 2,5 x 16

h = 40 metros.