Question

Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas:
x=y^2+1 e x+y=7

Answer 1

Primeiro encontramos os pontos de intersecção entre as funções:

 $y^2 +1 = 7-y \\ \\ y^2 + y -6=0 \\ \\ \Delta = 1 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25 \\ \\ y = \frac{-1 \pm \sqrt{25} }{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \\ \\ y' = 2 \\ y''= -3$

Logo temos a área da região limitada entre as funções:

$\int\limits^{2}_{-3} {(7-y)} \, dy - \int\limits^{2}_{-3} {(y^2 + 1)} \, dy = \int\limits^{2}_{-3} {(6-y-y^2)} \, dy \\ \\ \\ \left (6y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right )\limits^{2}_{-3} = \left (6 \cdot 2 - \frac{2^2}{2} - \frac{2^3}{3} \right )- \left (6 \cdot (-3) - \frac{(-3)^2}{2} - \frac{(-3)^3}{3} \right) \\ \\ \left (12 - 2 - \frac{8}{3} \right ) - \left ( -18 - \frac{9}{2} + 9\right ) = \frac{22}{3} + \frac{27}{2} = \boxed{\frac{125}{6}}$