Question

(FATEC-SP) se x e y são números reais tais que x = (0,25)^0,25 e y = 16^-0,125 é verdade que:

a) x = y
b) x > y
c) x*y = 2√2
d) x - y é um número irracional.
e) x + y é um número racional não inteiro.

Answer 1

Bom dia

( 0,25 ) ^(0,25)

Sabendo que 0,25 = 25 / 100  = 1 / 4 

A primeira potência fica:

( 1 / 4 ) ^(1 / 4)
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Cálculo auxiliar :  para já vamos modificar apenas a base da potência

1 / 4 = 1 / ( 2 ² )

como 1 = 1 ² 

a base fica ( 1 / 2 ) ²
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Então  ( 1 / 4 ) ^(1 / 4)

= [ ( 1 / 2 ) ² ] ^(1 / 4 )

temos uma situação de potência de potência

Regra: mantém-se a base e multiplicam-se as potências

= (1 / 2 ) ^( 2 * ( 1 / 4 ) )

= ( 1 / 2 ) ^(2 / 4 )

simplificando o expoente

( 0,25 ) ^(0,25) = ( 1 / 2 ) ^(1 / 2)

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Peguemos na segunda potência

16 ^ (- 0,125 )
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Cálculos auxiliares

16 = 2 ^ 4       e        -  0,125  =  - (125 / 1000 )  =  - 1 / 8
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16 ^ ( - 0,125 ) 

= ( 2 ^4 ) ^( -1 / 8 )

temos novamente potência de potência

= 2 ^( 4 * ( - 1 / 8 ) )

= 2 ^(- 4 / 8)

simplificando  a fração que está no expoente

= 2 ^( - 1 / 2 )

Regra : para trocar o sinal de expoente :

para trocar o sinal de um expoente,inverte-se a base e troca-se o sinal do expoente

a base " 2 "  , que é igual a  " 2 / 1" ,  tem como inverso " 1 / 2 "

Logo:

 2 ^( - 1 / 2 )

= ( 1 / 2 ) ^( 1 / 2 )

16 ^ ( - 0,125 ) = ( 1 / 2 ) ^( 1 / 2 )
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Resposta : ( 0,25 )^(0,25) = 16 ^ (- 0,125 ) = ( 1 / 2 )^( 1 / 2)   alínea a)
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Observação:
Ainda é possível modificar ( 1 / 2 )^( 1 / 2) , mas, para efeitos do enunciado,
já se provou que x = y
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Nota : sinais  → ( * ) é multiplicação  ;    ( / ) é divisão ;     ( ^) potenciação
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Espero ter ajudado.   Ensinando devidamente o que sei.
Procuro  explicar como se faz e não apenas apresentar rápidas soluções.

Esforçando-me por entregar a  Melhor  Resposta  possível.

Qualquer dúvida, envie-me comentário ou mensagem. Bom estudo


.

Answer 2

Resposta:

R letra A     X=Y

Explicação passo a passo:

( 0,25 )^(0,25) = 16 ^ (- 0,125 )

= ( 1 / 2 )^( 1 / 2)

x = y