Question

Calcule o valor de k na equação x² – kx + 36 = 0, de modo que uma das raízes seja o quádruplo da outra.

Answer 1

Condição x1 = 4x2, correto?
a = 1
b = -k
c = 36

Vamos pela soma e produto?

• Soma
x1 + x2 = -b / a
4.x2 + x2 = k
5.x2 = k
x2 = k / 5
x1 = k - x2 = k - (k/5) = 4k / 5

• Produto
k/5 . 4k/5 = 36
4k² / 25 = 36
k² = (36*25)/4
k = √225
k = 15

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os possíveis valores do parâmetro "k" de modo que uma das raízes seja o quádruplo da outra é:

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf k = \pm15\:\:\:}}\end{gathered} }$      

Seja a equação polinomial do segundo grau - equação quadrática:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$                $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - kx + 36 = 0\end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                               $\Large\begin{cases} a = 1\\b = -k\\c = 36\end{cases}$

Sabemos que toda equação do segundo grau sempre terá duas raízes. Além disso, sabemos a partir do enunciado que uma das raízes é o quádruplo da outra. Então temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} x' = 4x''\end{gathered}$

Sabendo que - pelas relações de Girard com respeito à soma e ao produto das raízes - temos:

  $\LARGE\begin{cases} x' + x'' = -\frac{b}{a}\\x'\cdot x'' = \frac{c}{a}\end{cases}\Longrightarrow \LARGE\begin{cases} 4x'' + x'' = -\frac{b}{a}\\4x''\cdot x'' = \frac{c}{a}\end{cases}$

Então, temos:

                                $\LARGE\begin{cases} 5x'' = -\frac{b}{a}\\4x''^{\,2} = \frac{c}{a}\end{cases}$

Substituindo os coeficientes no último sistema de equações, temos:

  $\LARGE\begin{cases} 5x'' = -\frac{(-k)}{1}\\4x''^{\,2} = \frac{36}{1}\end{cases}\Longrightarrow \LARGE\begin{cases}5x'' = k\:\:\:\:\:\:\:\:\bf I\\ 4x''^{\,2} = 36\:\:\:\:\bf II\end{cases}$

Isolando x'' na equação "II", temos:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 4x''^{\,2} = 36\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x''^{\,2} = \frac{36}{4}\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x''^{\,2} = 9\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} x'' = \pm\sqrt{9}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} x'' = \pm3\end{gathered}$

Substituindo os possíveis valores de x'' na equação "I", temos:

• x'' = -3

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} 5\cdot x'' = k \Longrightarrow 5\cdot(-3) = k \Longrightarrow k = -15\end{gathered}$

• x'' = 3

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} 5\cdot x'' = k \Longrightarrow 5\cdot3 = k \Longrightarrow k = 15\end{gathered}$

Portanto, os possíveis valores de "k" são:

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} k = \pm15\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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