Question

Uma circunferência que passa pelos pontos A(2,-9) e B(9,8) tem seu centro na bissetriz dos quadrantes pares. Determine o raio dessa circunferência.

Answer 1

Se ele é bissetriz ao quadrantes pares, temos que saber a reta que configura isso.
Bissetriz divide o ângulo em 2 iguais, entre cada quadrante há 90º, ou seja 45º para cada lado.
Se ela é bissetriz também, não poderia ter coeficiente linear, pois teria que cortar na origem.
E uma última condição, se ela é dos quadrantes pares, ela só pode ser decrescente, portanto seu coeficiente angular é negativo

Pela geometria analítica podemos descobrir o coeficiente angular através da tangente.
$y = -\tan(45^{\circ})*x\\ y=-x$

Portanto o centro da circunferência era (x,y), porém y é o oposto de x, ficando:
Centro = (x,-x)

Uma característica da circunferência é que a distância de um ponto até seu centro é a mesma distância de outro ponto até o centro. Quer dizer que a distância do ponto A até o centro é igual a distância do ponto B até o centro, esse é o raio.
Seguindo isso, podemos usar a fórmula de distância entre pontos.
$(x-2)^2+(y+9)^2 = (x-9) ^ 2+(y-8)^2\\ (x-2)^2+(-x+9)^2 = (x-9) ^ 2+(-x-8)^2\\ \not{x^2}-4x+4+\not x^2-\not 18x+\not 81=\not x^2-\not 18x+\not 81+\not x^2+16x+64\\\\ -4x+4=16x+64\\ 20x=-60\\ \boxed{x = -3}$

Após tudo isso, nós temos o valor do x do centro da circunferência.
Agora só aplicarmos a distância entre pontos novamente do centro da circunferência até a algum ponto, e esse será o raio.
$R= \sqrt{(-3-2)^2+(-(-3)+9)^2}\\ R= \sqrt{(-5)^2+12^2} \\ R = \sqrt{25 + 144} \\ R = \sqrt{169} \\\\ \boxed{\boxed{R= 13} }$

Portanto o valor do raio é 13.