Question

sendo y = e^{x}cosx. verifique que (d²y)/(dx²) - 2(dy)/(dx) +2y = 0

Answer 1

Função: $y = e^x \cdot cos(x)$

Para testar a validade da igualdade do enunciado, primeiro devemos encontrar a primeira e a segunda derivadas da função "y".

A primeira derivada da função:
$y= e^x \cdot cos(x) \\ \\ \frac{dy}{dx} = e^x \cdot cos(x) - sen(x) \cdot e^x \\ \\ \boxed{\frac{dy}{dx} = e^x \cdot (cos(x) - sen(x))}$

A segunda derivada da função:
$\frac{dy}{dx} = e^x \cdot (cos(x) - sen(x)) \\ \\ \frac{d^2y}{d^2x} = e^x \cdot (cos(x)-sen(x))+(-sen(x)-cos(x)) \cdot e^x \\ \\ \frac{d^2y}{d^2x} = e^x \cdot (\not cos(x)-sen(x)-sen(x)-\not cos(x)) \\ \\ \boxed{\frac{d^2y}{d^2x} = -2e^x \cdot sen(x)}$

Observação: ambas as derivadas foram realizadas utilizando a Regra do Produto.
Regra do produto:
$\boxed{\frac{d}{dx}(uv) = u'v+v'u}$

Agora basta substituir na expressão do enunciado e verificar o valor obtido:
$z = -2e^x \cdot sen(x)-2 \cdot e^x \cdot (cos(x)-sen(x))+ 2 \cdot e^x \cdot cos(x) \\ \\ z = e^x \cdot (-2sen(x)-2(cos(x)-sen(x))+2cos(x)) \\ \\ z = e^x \cdot (-2sen(x)-2cos(x)+2sen(x)+2cos(x)) \\ \\ z = e^x \cdot 0 \\ \\ \boxed{z = 0}$

Por fim, provou-se que:
$\therefore ~~~~~~ \boxed{\boxed{\frac{d^2y}{dx} -2 \cdot \frac{dy}{dx} +2y = 0}}$