Question

Verifique se o limite existe. Caso exista calcule-o.

$\underset{x\to1}{\ell im}~f(x),~em~que~f(x)$

$\{~~2-x~~se~~x\ \textless \ -1 \\ \{~~x~~se~~-1 \leq x\ \textless \ 1 \\ \{~~(x-1)^2~~se~~x \geq 1$

Answer 1

Temos a função definida por partes

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 2-x~~se~~x\ \textless \ -1\\ x~~se~~-1 \leq x\ \textless \ 1\\ (x-1)^2~~se~~x \geq 1 \end{matrix}\right.$

E queremos verificar se o seguinte limite existe

$\underset{x\to 1}\lim f(x)=L$

Para tanto, devemos verificar os limites laterais. 

Se x tende a 1 e x < 1 

$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}x=1$

Se x tende a 1 e x > 1 

$\lim_{x\to1^{+}}f(x)=\lim_{x\to1^{+}}(x-1)^2=0$

Como 

$\lim_{x\to 1^{-}}f(x) \neq \lim_{x\to1^{+}}f(x)$

O limite não existe. 

Perceba que apesar da função ter duas leis para x < 1, só nos é de interesse a lei que a define para valores muito próximos de 1, pois devemos ser capazes de tornar f(x) tão próximo de L (caso exista) quanto quisermos, tornando x suficientemente próximo de 1, só assim o limite pode ser definido com precisão.