Question

Uma urna contém, 3 bolas brancas, 4 bolas vermelhas e 5 bolas pretas. Nas condições abaixo, determine se a v. a. "X = número de bolas vermelhas sorteadas" segue o modelo Binomial. Caso positivo, calcule a probabilidade de pelo menos duas bolas sorteadas serem vermelhas.
A) 5 bolas sorteadas com reposição
B) 5 bolas sorteadas sem reposição

Answer 1

A) se as bolas são sorteadas com reposição, então em todas as extrações há a mesma probabilidade de se obter uma bola vermelha, p = 4/12 = 1/3.

Considerando cada extração um experimento de Bernoulli sendo bem sucedida a cada extração de bola vermelha, temos que este caso se encaixa no modelo binomial. Dados os parâmetros

n = 5 (número de extrações)
p = 1/3 (probabilidade de sucesso na obtenção de bola vermelha)

A função de probabilidade será

$P(k; 5, \frac{1}{3}) = {{5}\choose{k}}(\frac{1}{3})^k(\frac{2}{3})^{5-k}$

Aplica-se essa fórmula pra k = 2, 3 e 4 e somam-se os resultados.

$P(2; 5, \frac{1}{3})+P(3; 5, \frac{1}{3})+P(4; 5, \frac{1}{3})$

Não colocarei o resultado final.

B) Se n~]ao houver reposição, já não se encaixa mais o modelo binomial. Entretanto, ainda podemos considerar como sucesso no experimento de Bernoulli uma extração de bola vermelha. NEste caso, essas extrações seguirão o modelo hipergeométrico.

Dados os parâmetros

n = 5 (número de extrações realizadas)
K = 4 (número de sucessos possíveis nessa série de experimentos, i.e, número total de bolas vermelhas)
N = 12 (população total da urna)

Então, a função de probabilidade será

$P(k; 5, 4, 12) = \frac{{{4}\choose{k}}{{12-4}\choose{5-k}}}{{{12}\choose{5}}}$

Novamente, para obter a probabilidade de obter pelo menos duas bolas vermelhas, aplica-se a fórmula para k=2, 3 e 4 e somam-se os resultados.