Question

Mostre que a equação x² + senx . x - cosx = 0 tem apenas duas raízes reais, uma positiva e outra negativa.


__________________

Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

Vamos comparar essa função com uma função quadrática e resolvê-la fazendo uma substituição de funções para facilitar a visualização

Considere $a = sin(x)$ Assim:

$-cos(x)=-\sqrt{1-a^2}$

E a pode variar entre -1 e 1 no máximo.

Assim, pela fórmula de Bhaskara, Temos:

$x^2+ax-\sqrt{1-a^2}\\\\\Delta = b^2-4ac = a^2+4*\sqrt{1-a^2}$

Então, para todo $-1 \leq a \leq 1$, a função vai ter duas raizes reais.

Para verificar se os sinais das raizes são opostos, basta que na fórmula de bhascara, |b|< Raiz de delta.

Conferindo se a afirmação é verdadeira...

$x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2+4\sqrt{1-a^2}}}{2}$

Assim

$|-a| = |a| = \sqrt{a^2} \leq \sqrt{a^2+4\sqrt{1-a^2}}\ \ \forall (-1\ \textless \ a\ \textless \ 1)$

Então para todo a maior que -1 e menor que 1, está confirmado a afirmação acima, basta apenas conferir se a assumindo esses valores, a igualdade se manterá.

Se:

$a = -1 \implies\ sin(x)=-1\ e\ cos(x)=0 \implies\ x=\frac{3\pi}{2}+2\pi*k\\\\x^2-x=0\\\\x=0\ \ (impossivel\ \forall k\in \mathbb{Z})\\ou\\x=1\ \ (O\ mesmo)\\\\\\\\a=1\implies\ sin(x)=1\ e\ cos(x)=0\implies\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi*k\\\\x^2+x=0\\\\x=0\ \ (impossivel\ \forall k\in \mathbb{Z})\\ou\\x=-1\ \ (O\ mesmo)$

Assim, está provado que a função $f(x)=x^2+sin(x)*x+cos(x)$ possui duas raizes, uma positiva e outra negativa.