Question

ufpb simplificando=se a expressão sen 3x/sen x - cos3x/cos x

Answer 1

$\frac{sen 3x}{sen x} - \frac{cos 3x}{cos x}$

O MMC deles é senx · cosx. Então fica:
⇒ sen 3x · cos x - sen x · cos 3x / sen x . cos x

No numerador você tem a expressão da subtração de arcos do seno: 
sen(a - b) = sen a · cos b - sen b · cos a, sendo a = 3x e b = x.

⇒ sen (3x - x) / sen x · cos x
sen 2x / sen x · cos x

Usando a expressão do seno do arco duplo: sen 2x = 2sen x · cos x
⇒ 2sen x · cos x / sen x · cos x

→ sen x corta com sen x. cos x corta com cos x.

Ficando então

⇒ 2

Answer 2

Resposta:  2.

Explicação passo a passo:

Para esta tarefa, utilizaremos a fórmula para a expansão do seno da soma e do seno da diferença entre dois arcos:

    $\mathsf{sen\,\alpha\cdot cos\,\beta+cos\,\alpha\cdot sen\,\beta=sen(\alpha+\beta)\qquad (i)}\\\\ \mathsf{sen\,\alpha\cdot cos\,\beta-cos\,\alpha\cdot sen\,\beta=sen(\alpha-\beta)\qquad (ii)}$

Simplificar a expressão trigonométrica

    $\mathsf{\dfrac{sen\,3x}{sen\,x}-\dfrac{cos\,3x}{cos\,x}}$

Reduza as frações ao mesmo denominador comum:

    $\mathsf{=\dfrac{sen\,3x\cdot cos\,x}{sen\,x\cdot cos\,x}-\dfrac{cos\,3x\cdot sen\,x}{sen\,x\cdot cos\,x}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{sen\,3x\cdot cos\,x-cos\,3x\cdot sen\,x}{sen\,x\cdot cos\,x}}$

Identificamos o numerador como a expansão do seno de uma diferença, com α = 3x e β = x:

    $\mathsf{=\dfrac{sen(3x-x)}{sen\,x\cdot cos\,x}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{sen\,2x}{sen\,x\cdot cos\,x}}$

Mas podemos escrever também 2x = x + x, e assim aplicar a fórmula da expansão do seno de uma soma, com α = β = x. Nesse caso específico, recairemos exatamente na fórmula do seno do arco duplo:

    $\mathsf{=\dfrac{sen(x+x)}{sen\,x\cdot cos\,x}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{sen\,x\cdot cos\,x+cos\,x\cdot sen\,x}{sen\,x\cdot cos\,x}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{2\cdot sen\,x\cdot cos\,x}{sen\,x\cdot cos\,x}}\\\\\\ \mathsf{=2\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

Bons estudos! :-)