Question

AJUDAA
resolva as seguinte inequação:
A)1+log0,1(x²-1)>0

Answer 1

$\bullet\;\;1+\mathrm{\ell og}_{0,1}\left(x^{2}-1 \right )>0$

Para esta inequação, temos a seguinte restrição:

$x^{2}-1>0\\ \\ x^{2}>1\\ \\ x<-1\;\;\text{ ou }\;\;x>1$


Resolvendo a inequação, temos

$\mathrm{\ell og}_{0,1}\left(x^{2}-1 \right )>-1\\ \\ \mathrm{\ell og}_{0,1}\left(x^{2}-1 \right )>-1\cdot \underbrace{\mathrm{\ell og}_{0,1\,}0,1}_{1}\\ \\ \mathrm{\ell og}_{0,1}\left(x^{2}-1 \right )>\mathrm{\ell og}_{0,1}\left(0,1^{-1} \right )\\ \\ \mathrm{\ell og}_{0,1}\left(x^{2}-1 \right )>\mathrm{\ell og}_{0,1\,}10$


Como a base dos logaritmos da inequação é $0,1$, e

$0<0,1<1$

então, o sinal da inequação se inverte para os logaritmandos (> "maior que" inverte para < "menor que"). Então, resolvendo a inequação apenas entre os logaritmandos, já invertendo o sinal da inequação, temos

$x^{2}-1<10\\ \\ x^{2}<10+1\\ \\ x^{2}<11\\ \\ -\sqrt{11}<x<\sqrt{11}$


Combinando o resultado acima com a restrição inicial, fazendo a interseção entre os intervalos, chegamos à solução da inequação:

$-\sqrt{11}<x<-1\;\;\text{ ou }\;\;1<x<\sqrt{11}$


O conjunto-solução é

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,-\sqrt{11}<x<-1\;\;\text{ ou }\;\;1<x<\sqrt{11}\right. \right \}$

ou usando a notação de intervalos para representar o conjunto-solução

$S=\left(-\sqrt{11},\,-1 \right )\cup \left(1,\,\sqrt{11} \right )$