um sitiante plantou 30 abacateiros e cada árvore produz 100 abacates em média. Pretendendo aumentar o número de árvores, o sitiante consultou um especialista que o informou que cada árvore nova plantada fará diminuir em 2 abacates o número médio produzido pelas árvores. Nessas condições, quantas árvores ele deverá plantar para obter o número máximo de abacates?
Respostas
Quantidade de abacateiros: 30 + x
produção média = 100 - 2x
P(x) = (30 + x) (100 - 2x)
Máximo: derivada primeira igual a zero:
P'(x) = (30 + x) (-2) + (100 - 2x) = 0
-60 - 2x + 100 - 2x = 0
4x = 100 - 60 = 40
x = 40 / 4
x = 10
Para ser máximo, derivada segunda deve ser negativa no ponto calculado:
P '(x) = -60 - 2x + 100 - 2x
P' ' (x) = -4 (sempre negativa)
Deve plantar mais 10 abacateiros
Ele deverá plantar 10 árvores para obter o número máximo de abacates.
Essa questão é sobre equações do segundo grau. As equações do segundo grau são representadas por ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. O vértice da parábola é o ponto que representa o valor máximo ou valor mínimo da equação e suas coordenadas são dadas por:
xv = -b/2a
yv = -∆/4a
Seja x a quantidade de árvores, sabemos que cada nova árvore diminuirá o número médio de abacates por árvore em 2. O número total de abacates é igual ao produto entre a quantidade de árvores e a quantidade média de abacates produzidos por árvore:
A = (30 + x)·(100 - 2x)
Expandindo a equação, temos:
A = 3000 - 60x + 100x - 2x²
A = -2x² + 40x + 3000
Precisamos calcular a coordenada x do vértice que maximiza o número de abacates. Sendo a = -2 e b = 40, temos:
xv = -40/2·(-2)
xv = 10
Logo, ele deve plantar mais 10 árvores.
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