Question

Demonstre que em toda P.A. de 2n + 1 termos, o termo médio é igual a: (a_{1} + a_{2n+1})/2.

Answer 1

Considere uma progressão aritmética com $\mathsf{m=2n+1}$ termos.

Como o número de termos da P.A. é m, que é ímpar, o termo médio se encontra na posição

     $\mathsf{\dfrac{m+1}{2}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{(2n+1)+1}{2}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{2n+2}{2}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2(n+1)}{\diagup\!\!\!\! 2}}\\\\\\ \mathsf{=n+1.}$


Esse resultado é razoável. Veja que se há 2n + 1 termos, temos

     1 termo médio;
     2n termos restantes.

Então, metade dos termos restantes deve vir antes do termo médio, e a outra metade deve vir depois.

     n primeiros termos + 1 termo médio + n últimos termos.

Logo, é natural que o termo médio deva aparecer na posição n + 1.


Como $\mathsf{a_{n+1}}$ é o termo médio, temos que a distância do primeiro termo até ele é igual à distância dele até o último termo:

     $\mathsf{a_{n+1}-a_1=a_{2n+1}-a_{n+1}}\\\\ \mathsf{a_{n+1}+a_{n+1}=a_{2n+1}+a_1}\\\\ \mathsf{2\cdot a_{n+1}=a_{2n+1}+a_1}$

     $\mathsf{a_{n+1}=\dfrac{a_{2n+1}+a_1}{2}}$

como queríamos demonstrar.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)