Question

(UAM) Consideremos um cone reto de altura H. Queremos cortá-lo por um plano paralelo à base, a distância h do vértice, tal que o cone obtido e o troco de cone tenham o mesmo volume. Então h/H vale:
a)1/2√2
b)2/√2
c)1/√2
d)∛2/2

Se possível deixar a fórmula pra eu ver, plis!

Answer 1

Sejam

     •  raio da base do cone maior = R;

     •  altura do cone maior = H;


     •  raio da base do cone menor = r;

     •  altura do cone menor = h.


Então,

     •  Volume do cone maior:

        $\mathsf{V_1=\dfrac{1}{3}\cdot \pi R^2\cdot H}$


     •  Volume do cone menor:

        $\mathsf{V_2=\dfrac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot h}$


     •  Volume do tronco:

         $\mathsf{V_T=V_1-V_2}\\\\ \mathsf{V_T=\dfrac{1}{3}\cdot \pi R^2\cdot H-\dfrac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot h}\\\\\\ \mathsf{V_T=\dfrac{1}{3}\,\pi\cdot (R^2H-r^2h)}$


O volume do tronco é igual ao volume do cone menor. Logo,

     $\mathsf{V_T=V_2}\\\\ \mathsf{\dfrac{1}{3}\,\pi\cdot (R^2H-r^2h)=\dfrac{1}{3}\,\pi r^2 h}\\\\\\ \mathsf{R^2H-r^2h=r^2h}\\\\ \mathsf{R^2H=r^2h+r^2h}\\\\ \mathsf{R^2H=2r^2h}\\\\ \mathsf{\dfrac{r^2h}{R^2H}=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{r^2}{R^2}\cdot \dfrac{h}{H}=\dfrac{1}{2}}\\\\\\\mathsf{\left(\dfrac{r}{R}\right)^2\cdot \dfrac{h}{H}=\dfrac{1}{2}\qquad\quad(i)}$


Mas como os cones são semelhantes, as razões entre os comprimentos correspondentes são proporcionais, ou seja

     $\mathsf{\dfrac{r}{R}=\dfrac{h}{H}}$


Substituindo em (i), ficamos com

     $\mathsf{\left(\dfrac{h}{H}\right)^2\cdot \dfrac{h}{H}=\dfrac{1}{2}}\\\\\\\mathsf{\left(\dfrac{h}{H}\right)^3=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{h}{H}=\,^3\!\!\!\!\sqrt{\dfrac{1}{2}}}$

     $\mathsf{\dfrac{h}{H}=\dfrac{1}{\,^3\!\!\!\sqrt{2}}\quad\longleftarrow\quad resposta.}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)