43) faça o estudo do sinal de cada função, de R em R, cujo gráfico esta representado a seguir.
44) faça o estudo de sinal de cada uma das funções de R em R, definidas pelas seguintes leis:
Respostas
Então, o estudo de sinal funciona da seguinte forma: Tudo o que está abaixo do eixo x é negativo e tudo o que está acima do mesmo é positivo.
43) Tomando com exemplo a letra a) Quando x<1, então f(x) é negativo. Quando 1<x<5, ( Como o gráfico corta x em x=1 e seu vértice é em x=3, logo o gráfico irá cortar em novamente x em x=5) f(x) é positivo. Novamente, quando x>5, então f(x) é negativo.
44) Seguindo o exemplo da questão anterior, e como só estamos lidando com funções de segundo grau, o que você precisa fazer é encontrar as raízes da equação, sendo por bhaskara ou por soma e produto, e analisar se a concavidade é voltada para cima ou para baixo. Agora, sabendo a forma do gráfico e onde ele está cortando no eixo x, é só seguir os passos do exercício anterior.
Abraços!
43) O estudo de sinal é facilmente feito graficamente:
a) Note que a parábola tem uma raiz em x = 1 e seu vértice está em x = 3, logo, sua outra raiz será no ponto x = 5 (pois 3 - 1 = 2 e 5 - 3 = 2), assim, a função é crescente no intervalo (-∞, 3) e decrescente no intervalo (3, +∞), com ponto crítico em x = 3.
b) A função é crescente em (0, +∞) e decrescente em (-∞, 0).
c) Da mesma forma, temos a função decrescente em (-∞, 2) e crescente em (2, +∞) com ponto crítico em x = 2.
d) Não é especificado os valores no vértice, portanto, conclui-se apenas que a função é sempre negativa.
44) Dada a função, podemos derivar e igualar a zero. Caso a derivada seja negativa, a função é decrescente e caso a derivada seja positiva, a função é crescente.
a) dy/dx = -6x - 8
-6x - 8 = 0
x = -8/6
A função é crescente em (-∞, -8/6) e decrescente em (-8/6, +∞). Ela começa crescente pois o termo x² é negativo, caso fosse positivo, ela seria decrescente até o ponto crítico e crescente a partir dele.
Agora, basta aplicar a mesma coisa para as demais funções.
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