Question

1. Determine as equações e gráficos das cônicas abaixo :
a) Determine a parábola vértice : V (−2, 3); foco: F (−2, 1)
b) Determine a elipse de v (0,0),um foco F (0, −√5) e eixo menor mede 4.
c) Determine a hipérbole centro C(0, 0), eixo real sobre o eixo dos y, b = 8 e
excentricidade 5/3.

Answer 1

a) A parábola tem o seguinte formato:

y - k = a(x - h)²

O vértice é definido por V = (h,k). Como V = (-2,3), então podemos concluir que h = -2 e k = 3.

Logo,

y - 3 = a(x + 2)²

O foco é definido por $F=(h,k+\frac{1}{4a})$. Como F = (-2,1), e como k = 3, então:

$3+\frac{1}{4a} = 1$
$\frac{1}{4a} = -2$
$a = -\frac{1}{8}$

Portanto, a equação da parábola é $y-3=- \frac{(x+2)^2}{8}$

b) Acredito que o centro seja C = (0,0).

Como o eixo menor mede 2b, então:

2b = 4
b = 2.

Além disso, o foco é definido por F = (0,-c). Portanto, c = √5.

Sendo b² = a² - c², podemos concluir que a² = 9.

Portanto, a equação da elipse é $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$

c) Nesse item tem uma contradição.

A excentricidade da hipérbole é definida por $e= \frac{c}{a}$.

Como $e= \frac{5}{3}$, então c = 5 e a = 3.

Na hipérbole, temos que c² = a² + b². Então o valor de b só pode ser 4 e não 8.

Como o eixo real está sobre OY, então a equação da hipérbole é $-\frac{x^2}{16}+ \frac{y^2}{9} =1$