Question

O vetor (x, 2, 3) do R3 é uma combinação linear dos vetores (1, 0, 1) e (2, 1, 1). Qual é o valor de x?

Answer 1

Se o vetor $\mathsf{\overset{\to}{u}=(x,\,2,\,3)}$ é combinação linear dos vetores

     $\mathsf{\overset{\to}{u}\,\!_1=(1,\,0,\,1)}$  e  $\mathsf{\overset{\to}{u}\,\!_2=(2,\,1,\,1)}$


então existem escalares α₁, α₂ ∈ ℝ, tais que

     $\mathsf{\alpha_1\overset{\to}{u}\,\!_1+\alpha_2\overset{\to}{u}\,\!_2=\overset{\to}{u}}\\\\ \mathsf{\alpha_1(1,\,0,\,1)+\alpha_2(2,\,1,\,1)=(x,\,2,\,3)}\\\\ \mathsf{(\alpha_1,\,0,\,\alpha_1)+(2\alpha_2,\,\alpha_2,\,\alpha_2)=(x,\,2,\,3)}\\\\ \mathsf{(\alpha_1+2\alpha_2,~\alpha_2,~\alpha_1+\alpha_2)=(x,\,2,\,3)}$


Dois vetores são iguais apenas se as suas coordenadas correspondentes são iguais. Daí, temos o seguinte sistema:

     $\left\{ \begin{array}{rcrcrc} \mathsf{\alpha_1}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{2\alpha_2}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{x}&\qquad\mathsf{(i)}\\ &&\mathsf{\alpha_2}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{2}&\qquad\mathsf{(ii)}\\ \mathsf{\alpha_1}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{\alpha_2}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{3}&\qquad\mathsf{(iii)} \end{array} \right.$


A equação (ii) já nos fornece diretamente o valor de α₂:

     $\mathsf{\alpha_2=2}$        ✔


Substitua na equação (iii) para obter o valor de α₁:

     $\mathsf{\alpha_1+\alpha_2=3}\\\\ \mathsf{\alpha_1+2=3}\\\\ \mathsf{\alpha_1=3-2}$

     $\mathsf{\alpha_1=1}$        ✔


Para obter o valor de x, substitua na equação (i) os valores encontrados para α₁ e α₂:

     $\mathsf{\alpha_1+2\alpha_2=x}\\\\ \mathsf{1+2\cdot 2=x}\\\\ \mathsf{1+4=x}$

     $\mathsf{x=5\quad\longleftarrow\quad resposta.}$


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