Question

Como resolver Sec2 X (secante ao quadrado de X) = 2tg X

Answer 1

Resolver a equação trigonométrica:

     sec² x = 2 tg x


Usaremos a seguinte identidade trigonométrica:

     •  sec² x = 1 + tg² x


e a equação fica

     1 + tg² x = 2 tg x

     tg² x − 2 tg x + 1 = 0


Faça uma mudança de variável:

     $\mathsf{tg\,x=y,\qquad y\in\mathbb{R}}$


e a equação fica

     $\mathsf{y^2-2y+1=0}$


A equação acima é uma equação quadrática na variável y. Você poderia resolvê-la pela fórmula resolutiva de Báscara. Entretanto, observe que no lado esquerdo você tem um trinômio quadrado perfeito. Logo, a equação pode ser reescrita como:

     $\mathsf{(y-1)^2=0}\\\\ \mathsf{y-1=0}\\\\ \mathsf{y=1}$


Voltando para a variável x:

     $\mathsf{tg\,x=1}\\\\ \mathsf{tg\,x=tg\,\dfrac{\pi}{4}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\pi}{4}+4k\cdot \dfrac{\pi}{4}}$

     $\mathsf{x=\dfrac{\pi}{4}\cdot (1+4k)}$

com k inteiro.


Conjunto solução:  $\mathsf{S=\Big\{x\in\mathbb{R}:~~x=\dfrac{\pi}{4}\cdot (1+4k),~~k\in\mathbb{Z}\Big\}.}$


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Bons estudos! :-)