Question

Está certa a resolução dessa Progressão Geométrica?

Calcule o 1º termo da P.G (a1,a2,a2...) em que a4=128 e q=4.

a1 = a4 - q³
a1 = 128 - 4³
a1 = 128 - 256
a1 = -128

P.S: Resolvi pelo método lógico, por isso não tenho certeza se está correto.

Answer 1

     Bom, primeiro você tem de saber algo meio chato: sua resposta está incorreta - mas por um detalhe simples.
Vamos lá.
Vou te mostrar três modos de fazer esse tipo de cálculo:


Modo 1:

P.G.= (a₁,a₂,a₃,128) 
Obs: onde o 128 é o a₄, ou seja, o quarto termo.

$a_4=a_1*q^3 \\ 128=a_1*4^3 \\ 128=a_1*64 \\ \frac{128}{64}=a_1 \\ {\boxed{a_1=2}$

     Observe que o que eu fiz, basicamente, foi substituir os termos que eu já conhecia, onde: a₄=128, e o "q", a razão, era igual a 4. O que eu fiz depois foi basicamente executar as operações necessárias.



Modo 2:
Quando se fala em P.G., há observações que não se deve deixar esquecer, como:
1 - para descobrir a razão de uma P.G., basta que eu divida o termo a₃ pelo termo a₂, por exemplo.
Caso: Na P.G. (2,4,8,16) qual é a razão? 
     Simples, basta que eu calcule: a₃/a₂, onde a₃=8 e a₂=4. Logo, faço: 8/4=2.      E com isso, você sabe: quando descubro a razão de um P.G., e sei de qualquer termo de sua sequência, sou capaz de montar toda a P.G. somente com essa informação: a razão e um termo qualquer.

Obs: essa coisa de dividir a₃/a₂ não é regra, pois irá haver casos de P.GS nas quais você poderá não ter conhecimento desses termos, sendo assim, basta que você se lembre: "dividir o termo seguinte pelo anterior", como a₉/a₈, por exemplo.
Continuando: no caso de sua questão, sei da razão e tenho um termo como referência, o quarto. Sendo assim, posso fazer:

$a_4=\boxed{128} \\ a _3= \frac{128}{4} =\boxed{32} \\ a_2= \frac{32}{4}=\boxed{8} \\ a_1= \frac{8}{4}=\boxed{2}$

     Nesse caso, o que eu fiz foi: usar o quarto termo dividido pela razão para descobrir o terceiro, e o terceiro dividido pela razão para descobrir o segundo e assim por diante. No caso, você percebe que, se eu dividir um termo qualquer por sua razão, sou capaz de descobrir o termo anterior a ele - e foi isso que eu quis dizer com "é possível montar toda a P.G." Assim como se eu multiplicar um termo qualquer por sua razão, sou capaz de descobrir o termo posterior a ele.



Modo 3:

O terceiro modo é o mais usual, onde utilizarei a famosa fórmula do termo geral de uma P.G., que é:  $a_n=a_1*q ^{n-1}$

Olhando bem para a questão, tenho os seguintes dados:
>> an=128. - Lembra que o "an" é dito o último termo da sequência? Pois é, adotarei o a₄ como o último termo.
>> q=4
>> n= 4. O "n" - número de termos - será igual a 4 porque como eu disse, considerarei o 128 como último termo da P.G.

Cálculo:

$a_n=a_1*q ^{n-1} \\ a_4=a_1*4 ^{4-1} \\ 128=a_1*4^3 \\ 128=a_1*64 \\ a_1= \frac{128}{64} \\ \boxed{a_1=2}$

Resposta final: o primeiro termo da P.G. "é" 2