Question

Encontre a inversa da matriz A. Verifique sua resposta efetuando o produto A−1 A.
matriz A=
−1 1 2
1 2 2
0 0 1

Answer 1

Olá.

Dada a Matriz.

$A=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Há duas formar de achar a inversa de uma Matriz 3x3, pode ser por determinantes ou por sistemas. Vou pelo 2° método:

A condição é:

$A*A^{ -1 }=I$

A=Matriz dada
A^-1= Matriz inversa (colocarei as letras do alfabeto)
I= Matriz identidade (diagonal principal vale 1 e as demais 0).

Então é só multiplicar:

$\begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Basta fazer o produto da primeira linha de A, com a primeira coluna de A^-1, depois basta fazer o produto da diagonal da linha de A, com a segunda coluna de A^-1, e é só ir fazendo isso sucessivamente:

Feito isso teremos:

$\begin{bmatrix} -a+d+2g & -b+e+2h & -c+f+2i \\ a+2d+2g & b+2e+2h & c+2f+2i \\ g & h & i \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Agora é só igualar, e de cara percebe-se que:

$g=0\\ h=0\\ i=1$

Agora é só resolver os sistemas:

$-a+d+2g=1\\ a+2d+2g=0\\ \\ -a+d=1\\ \quad a+2d=0\\ \\ 3d=1\quad \therefore \quad d=\frac { 1 }{ 3 } \\ \\ \\ a+2d=0\\ a+2(\frac { 1 }{ 3 } )=0\\ a=-\frac { 2 }{ 3 }$


Outro sistema:

$-b+e+2h=0\\ \quad b+2e+2h=1\\ \\ -b+e=0\\ \quad b+2e=1\\ \quad 3e=1\quad \therefore \quad e=\frac { 1 }{ 3 } \\ \\ -b+e=0\\ -b+\frac { 1 }{ 3 } =0\quad \therefore \quad b=\frac { 1 }{ 3 }$


Outro sistema:

$-c+f+2i=0\\ \quad c+2f+2i=0\\ \quad \\ -c+f=-2\\ \quad c+2f=-2\\ \quad 3f=-4\quad \therefore \quad f=-\frac { 4 }{ 3 } \\ \\ c+2f=-2\\ c+2(\frac { -4 }{ 3 } )=-2\\ \\ c-\frac { 8 }{ 3 } =-2\quad \therefore \quad c=\frac { 2 }{ 3 }$


Bom, nós achamos todas as incógnitas:

Então basta substituir na Matriz A^-1:

$A^{ -1 }=\begin{bmatrix} -\frac { 2 }{ 3 } & \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 1 }{ 3 } & -\frac { 4 }{ 3 } \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$


Com o exercício para provar, temos que:

$\begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} -\frac { 2 }{ 3 } & \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 1 }{ 3 } & -\frac { 4 }{ 3 } \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$


Se você resolver como no início verás que dará certo.