Question

Um canhão está posicionado a 12 metros do chão e inclinação com a horizontal igual a 60º.
Sabendo que a velocidade com a qual o canhão lança seu projétil é 30m/s, pergunta-se: Qual a
distância horizontal entre o canhão e o projétil quando o projétil atinge o chão? Considere
g=10m/s² ; √229 = 15 ; √3=1,73 e faça aproximações para facilitar o cálculo.

Answer 1

Vamos rever conceitos. 
Um material que percorre uma trajetória de maneira que a sua velocidade varie de maneira constante em determinado período de tempo pode ser classificada como tendo um  Movimento Uniformemente Variado (MUV). Ou seja, o objeto em si tem velocidades diferentes durante o seu percurso e essa variação de velocidade no tempo é chamada de aceleração. Nós podemos observar esse tipo de movimento no dia a dia, como carros, caminhões, uma pessoa correndo, etc.
O Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) é onde o material percorre uma trajetória retilínea em determinado espaço com aceleração constante, fazendo com que a velocidade varie de uma forma uniforme. Podemos notar esse tipo de movimento ao sair de um local em que o carro está estacionado e a medida do tempo aceleramos até atingir a velocidade desejada. 

Essas leis obedecem as fórmulas matemáticas a seguir:

- Função Horária da Velocidade
                                                             v = v₀ +at,
sendo v a velocidade do corpo, v₀ a velocidade inicial do corpo, a é a aceleração do corpo e t o instante.

- Função Horária do Espaço
                                                     S=S₀ + v₀.t +a/2.t²,
onde S é a posição do corpo, S₀ é a posição inicial do corpo, v₀ é a velocidade inicial, t é o instante e a é a aceleração.

- Equação de Torricelli
                                                      v² = v₀² + 2aΔS,
onde v é a velocidade do corpo, v₀ é a velocidade inicial, a é a aceleração e ΔS é a variação de posição.

Desse modo, vamos analisar a questão acima. 

- Eixo x

O projétil sai de S₀ₓ=0 e v₀ₓ=30 m/s e a=0, portanto é um MUV. Para acharmos a velocidade do eixo x, temos que decompor o vetor velocidade. Como o vetor velocidade em x é igual ao cateto adjacente do ângulo de 60⁰, temos que:
v₀ₓ= 30.cos60 = 30 . 1/2 = 15 m/s
Então temos que:
                                                         Sₓ = S₀ₓ + v₀ₓt 
                                                             S = 15t

- Eixo y

Analisando o eixo y, vemos que o o projétil tem uma aceleração constante, caracterizando o MRUV. Desse modo, temos que achar a velocidade do eixo y. Decompondo a velocidade, vemos que v₀y é o cateto oposto do ângulo de 60°.
v₀y = 30 . sen60 = 30.√3/2 = 15 . 1,73 = 26 m/s

Então utilizando a equação do espaço temos:
S=S₀ + v₀.t - a/2.t²  ([e negativo pois o projétil está caindo, então a aceleração é contrária o eixo y)
0 = 12 + 26t - 10/2.t²
- 5t² + 26t + 12 = 0
Caímos em uma equação de segundo grau, facilmente resolvida por bhaskara:

Δ= b² - 4ac = 26² - 4.(-5).12 = 916
√Δ=√(4.229) = 2.√229 = 30

$x1 = \frac{-b + 30}{2a}$
$x1 = \frac{-26 + 30}{2a} = -0,4$

$x2 = \frac{-b - 30}{2a}$
$x2 = \frac{-26 + 30}{2a} = 5,6$

Assim, consideramos então que o instante t= 5,6 s.

Para descobrir a distância percorrida pelo projétil no eixo x, basta olhar a primeira equação que achamos e substituir o valor de t. Assim:

                     Sₓ = 15t = 15 . 5,6 = 84 m é a distância percorrida pelo projétil.