Question

as medidas dos lados de um triângulo retângulo sao x+1 , 2x e x²+1 
  estãoem uma progressão aritmética de razão não nula nessa ordem. determinei a área desse triângulo

Answer 1

Vamos lá!
Temos a seguinte sequência
$(x+1)< (2x)<(x^2+1)$

Como é uma progressão geométrica, o termo médio é a média aritmética dos extremos. 
Os termos são 
$a_1 = x+ 1$
$a_2 = 2x$
$a_3 = x^2 +1$

$a_2$ portanto, é nossa média aritmética. 


Sendo assim, 
$a_2 = \dfrac{a_1+a_3}{2}$

$2x = \dfrac{(x+1)+(x^2+1)}{2}$
$2x\times2 = (x+1)+(x^2+1)$
$4x = x^2 + x + 2$
$x^2 + x + 2 - 4x = 0$
$x^2 + 2 - 3x = 0$

Uma equação do 2º grau. Por Bhaskara, 
$x^2 - 3x + 2 = 0$
$a = 1$
$b = -3$
$c = 2$

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{-3^2-4\times1\times2}}{2\times1}$
$x = \dfrac{+3 \pm \sqrt{9-8}}{2}$
$x = \dfrac{+3 \pm \sqrt{1}}{2}$
$x = \dfrac{+3 \pm1}{2}$
$x' = 1$
$x'' = 2$

Como achamos duas medidas positivas para x, devemos conferir, qual dos dois valores nos entregará um valor que atenda as condições, pedidas pelo exercício:
No caso do $x'$, 
$a_1 = x+ 1 = 1 + 1 = 2$
$a_2 = 2x = 2\times1 = 2$
$a_3 = x^2 +1 = 1^2 + 1 = 2$

Quando o x = 1, as condições do exercício não são atendidas, isto é, com x', não é possível se formar um triângulo triângulo retângulo, já que todas as medidas dos lados são iguais a 2 (como foi demonstrado acima). Isso nos entregaria um triângulo equilátero. Logo, x' está descartada.

No caso do $x''$, 
$a_1 = x+ 1 = 2+ 1 = 3$
$a_2 = 2x = 2\times2 = 4$
$a_3 = x^2 +1 = 2^2 + 1 = 5$

Quando o x = 2, as condições do exercício serão atendidas, isto é, com x'', é possível se formar um triângulo triângulo retângulo, já que todas as medidas dos lados são diferentes (como foi demonstrado acima). Nesse triângulo retângulo. Logo, x'' é válida.


Tendo a medida dos valores dos lados deste triângulo, 
Hipotenusa =$a_3 = (x^2 + 1) = 5$ (Por ser a maior das medidas)
Cateto' = Base = $a_1 = (x + 1) = 3$
Cateto'' = Altura = $a_2 = (2x) = 4$

Cálculo do Perímetro (Soma de todos os lados):
Hipotenusa + Base + Altura =
$5 + 3 + 4 = 12$

Cálculo do Área
$\dfrac{Base\times{Altura}}{2}$
$At = \dfrac{3 \times 4}{2}$
$At = \dfrac{12}{2}$
$At = 6$

Resposta Final:
Área desse triângulo retângulo = 6
Perímetro = 12