Question

em uma calculadora, a tecla T transforma o numero x (não nulo), que está no visor, em 1/x, e a tecla V duplica o numero que se encontra no visor. Se o numero 2 estiver no visor e forem digitados , alternadamente, as teclas T e V, iniciando-se por T, num total de 1999 digitações, será obtido um numero igual a:
A)2^1999
B)1
C)2
D1/2^1999

Answer 1

Primeiramente, aparece o número 2 na tela. repare nas  primeiras digitações:
1° inverso: 1/2
2°1/2 x 2 = 1
3° inverso: 1/1 = 1
4° 1/1 x 2 = 2
5° inverso: 1/2
6° 1/2 x 2 = 1

Percebeu que os termos vão se repetir, a cada quatro digitações?
Dividindo 1999 por 4, temos quociente de 1996 e resto 3. Logo, após 1996 digitações, o resultado será 2. Seguindo:

1997° inverso: 1/2
1998° 1/2 x 2 = 1
1999° inverso: 1/1 = 1

Letra B

Answer 2

Alternativa b)

Sendo que inicialmente o número que se encontra no visor é 2.

Na primeira digitação:

1/x = 1/2

Na segunda digitação:

2x = 2(1/2) = 2/2 = 1

Na terceira digitação:

1/x = 1/1 = 1

Na quarta digitação:

2x = 2(1) = 2

Assim voltamos ao número 2, com o qual iniciamos. Note que em digitações de termos de uma progressão aritmética de razão 4, a partir de 1 (1, 5, 9, 13,17, 21,...), sempre o número do visor será 1/2.
Quando considerado a progressão em que a digitação é a partir de 2 com a razão 4 (2, 6, 10, 14, 18,...) sempre o valor do visor será 1.
Quando a ordem de digitação é a partir de 3 com a razão 4 (3, 7, 11, 15, 19,...), sempre o número do visor será 1.
Na progressão em que a digitação começa a partir de 4 com a razão 4, sempre o número do visor é 2.

Por fim, basta saber em qual progressão aritmética o número 1999 é pertencente.

Ele pertence à progressão aritmética na qual o primeiro termo é 3, com a razão 4. Visto que sua posição é um número natural:

(fórmula do termo geral de uma P.A.:)
$a_n=a_1+r(n-1) \\ \\ 1999=3+4(n-1) \\ \\ 1999-3=4n-4 \\ \\ 1996+4=4n \\ \\ 2000=4n \\ \\ 2000/4=n \\ \\ 500=n$

500 ∈ N.


Se você utilizar o termo 1999 em qualquer uma das outras progressões para obter o número de sua posição, esta nunca será um número natural. Em virtude disso a alternativa b) é a correta, pois 1999 pertence à progressão em que seus termos quando tidos na digitação (isto é, quando é a terceira digitação, sétima digitação, décima primeira digitação, ..., 1999ª digitação), sempre o número do visor será 1.