• Matéria: Matemática
  • Autor: Peterson42
  • Perguntado 7 anos atrás

Considere uma função f(x,y) tal que

\frac{\partial f}{\partial x}=ye^{xy}+2yx

\frac{\partial f}{\partial y}=xe^{xy}+x^{2}+tg^{2} y

Sabendo-se que f(0,\pi)=1, calcule f(0,\frac{\pi}{4})

Respostas

respondido por: Lukyo
4

Temos uma função f(x, y), da qual conhecemos as suas derivadas parciais:

     •  \dfrac{\partial f}{\partial x}=ye^{xy}+2yx

     •  \dfrac{\partial f}{\partial y}=xe^{xy}+x^2+\mathrm{tg^2\,}y


Então, vamos tomar a primitiva relativa à variável x:

     \dfrac{\partial f}{\partial x}=ye^{xy}+2yx\\\\\\ f(x,\,y)=\diagup\!\!\!\! y\cdot \dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! y}\,e^{xy}+\diagup\!\!\!\! 2y\cdot \dfrac{x^2}{\diagup\!\!\!\! 2}+g(y)\\\\\\ f(x,\,y)=e^{xy}+yx^2+g(y)\qquad\quad\mathsf{(i)}

onde g(y) é uma função apenas da variável y.


Agora, tome a derivada parcial de f em relação a y na equação (i):

     \dfrac{\partial}{\partial y}\big[f(x,\,y)\big]=\dfrac{\partial}{\partial y}\big[e^{xy}+yx^2+g(y)\big]\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(e^{xy})+\dfrac{\partial}{\partial y}(yx^2)+\dfrac{\partial}{\partial y}\big[g(y)\big]\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=e^{xy}\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)+x^2+\dfrac{d}{dy}\big[g(y)]\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=e^{xy}\cdot x+x^2+g'(y)\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=xe^{xy}+x^2+g'(y)\qquad\quad\mathsf{(ii)}


Comparando (ii) com a derivada parcial fornecida pela questão, temos que

     xe^{xy}+x^2+g'(y)=xe^{xy}+x^2+\mathrm{tg^2\,}y\\\\ g'(y)=\mathrm{tg^2\,}y\\\\ g'(y)=\sec^2 y-1\\\\ g(y)=\displaystyle\int(\sec^2 y-1)\,dy\\\\ g(y)=\mathrm{tg\,}y-y+C

onde C é uma constante.


Dessa forma, a lei de f(x, y) fica

     f(x,\,y)=e^{xy}+yx^2+\mathrm{tg\,}y-y+C


Precisamos determinar o valor da constante C. Para isso, usamos os pontos dados:

     f(0,\,\pi)=1\\\\ e^{0\cdot \pi}+\pi\cdot 0^2+\mathrm{tg\,}\pi-\pi+C=1\\\\ e^0+\pi\cdot 0+\mathrm{tg\,}\pi-\pi+C=1\\\\ 1+0+0-\pi+C=1\\\\ C=1-1+\pi\\\\ C=\pi


A lei de f(x, y) é então

     f(x,\,y)=e^{xy}+yx^2+\mathrm{tg\,}y-y+\pi


e consequentemente,

     f\!\left(0,\,\dfrac{\pi}{4}\right)=e^{0\cdot \frac{\pi}{4}}+\dfrac{\pi}{4}\cdot 0^2+\mathrm{tg\,}\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}+\pi\\\\\\ f\!\left(0,\,\dfrac{\pi}{4}\right)=e^0+\dfrac{\pi}{4}\cdot 0+\mathrm{tg\,}\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}+\pi\\\\\\ f\!\left(0,\,\dfrac{\pi}{4}\right)=1+0+1-\dfrac{\pi}{4}+\pi\\\\\\ f\!\left(0,\,\dfrac{\pi}{4}\right)=2-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{4\pi}{4}

     f\!\left(0,\,\dfrac{\pi}{4}\right)=2+\dfrac{3\pi}{4}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)


Peterson42: Muito obrigado, Lukyo!
Lukyo: De nada! :D
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