Question

Quantos números inteiros x, com 23 ≤ x ≤ 432, não são múltiplos de 3?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Annalislley, que a resolução parece simples. 
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. 

i) Pede-se para determinar quantos números inteiros "x", no intervalo abaixo, NÃO são múltiplos de 3:

23 ≤ x ≤ 432. 

ii) Veja: primeiro vamos encontrar quantos números há entre "23" e "432", incluindo os dois extremos. Então fazendo a subtração do último menos o primeiro teremos:

432 - 23 = 409 ----- Mas como os dois extremos estão incluídos, então deveremos somar mais uma unidade. Logo: 

409 + 1 = 410 <--- Esta é a quantidade de números que existe no intervalo fechado dado: 23 ≤ x ≤ 432.


ii) Agora vamos encontrar apenas os múltiplos de "3" que existem entre "23" e "432. Mas já vemos que "23" não é múltiplo de "3". Então o primeiro múltiplo de "3" logo após o "23" é o "24". E o último múltiplo de "3" será o próprio "432", pois "432" é múltiplo de "3" (note que a soma dos seus algarismos dá um número divisível por "3"). Assim, iniciando do "24" iremos de "3" em "3" unidades até o 432, com o que formaremos uma PA que terá a seguinte conformação:

(24; 27; 30; 33; 36; .......; 432).

Agora vamos aplicar a fórmula do termo geral de uma PA para encontrar o número "n" de múltiplos de "3" na PA acima. Fazendo isso, teremos:

a ̪ = a₁ + (n-1)*r


Na fórmula acima, substituiremos "a ̪" por 432, que é o último termo da PA. Por sua vez, substituiremos "a₁" por 24, que é o primeiro termo da PA. Finalmente, substituiremos "r" por "3", que é o valor da razão da PA. Assim, fazendo isso, iremos ficar assim:


432 = 24 + (n-1)*3 ---- desenvolvendo, temos:
432 = 24 + 3n - 3 ----- ordenando o 2º membro, ficaremos:
432 = 24-3 + 3n ---- continuando o desenvolvimento, teremos:
432 = 21 + 3n ---- passando "21" para o 1º membro, temos:
432 - 21 = 3n
411 = 3n ---- vamos apenas inverter, ficando:
3n = 411 ---- isolando "n", teremos:
n = 411/3
n = 137 <--- Esta é a quantidade de múltiplos de "3" que existe na nossa PA.


iii) Finalmente, agora vamos retirar a quantidade de múltiplos de "3" (que são 137 múltiplos) do total de números existentes entre "23" e "432" (que são 410 números). O resultado serão os números que NÃO são múltiplos de "3". Assim teremos:

410 - 137 = 273 <--- Esta é a resposta. Ou seja, no intervalo 23 ≤ x ≤ 432, há 273 números que NÃO são múltiplos de "3".


É isso aí.
Deu pra entender bem?


OK?
Adjemir.