Question

O triângulo ABC da figura a seguir é um triângulo isósceles de lado 10cm e, portanto, de área 253cm2. 


Se E, F e G são pontos médios dos lados desse triângulo, então a altura do trapézio isósceles EHBG é


Opções

   (A) 10 raiz quadrada de 2.


   (B) 5/2 raiz quadrada de 3.

   (C) 10 raiz quadrada de 3.

   (D) 5/2 raiz quadrada de 2.

   (E) 5/3 raiz quadrada de 3.

Answer 1

Como a área do triângulo ΔABC é 25√3 cm², então:

$\frac{AB.CG}{2} = 25\sqrt{3}$
$AB.CG = 50\sqrt{3}$
$AB = \frac{50\sqrt{3}}{CG}$

Como o triângulo é isósceles, então a altura divide a base relativa ao meio.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ΔACG:

$10^2 = CG^2 + ( \frac{25\sqrt{3}}{CG})^2$
$100 = CG^2 + \frac{1875}{CG^2}$
100CG² = CG⁴ + 1875
CG⁴ - 100CG² + 1875 = 0

Considere que CG² = y. Então:

y² - 100y + 1875 = 0

Utilizando a fórmula de Bháskara encontraremos como resposta:

y = 25 ou y = 75

Vamos dividir em dois casos. Perceba que GI é a altura do trapézio.

1° caso

y = 25 ∴ CG = 5 e AB = 10√3

Pelo Teorema da Base Média:

$EF = \frac{AB}{2}=frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$

Logo, 

$\frac{5\sqrt{3}}{ \frac{5\sqrt{3}}{2} } = \frac{5}{CI}$
$CI = IG = \frac{5}{2}$

2°caso

y = 75 ∴ CG = 5√3 e AB = 10.

Pelo Teorema da Base Média:

$EF = \frac{AB}{2}=5$

Logo,

$\frac{ 5 }{ \frac{5}{2} } = \frac{5\sqrt{3}}{CI}$
$CI = IG = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

Portanto, a alternativa correta é a letra b).