Question

O polígono da Figura a seguir é formado por nove quadrados de lado unitário.

(a) Os segmentos PA e PB dividem o polígono em três regiões. Calcule as áreas dessas regiões.



(b) O segmento PC divide o polígono em duas regiões de mesma área. Calcule a distância x de B a C.

Answer 1

a) Observe a figura abaixo.

Podemos passar o quadrado superior para a linha do meio.

Com os segmentos PA e PB temos as três áreas definidas: área em vermelho, em verde e em azul.

Vamos calcular cada uma dessas áreas:

Área em vermelho

Perceba que a área em vermelho é um triângulo. Como os quadrados possuem lados iguais a 1, então:

$A_{vm) = \frac{2.4}{2} = 4$

Área em azul

A área em azul será igual a área do triângulo de base 4 e altura 1 mais a área do quadrado:

$A_a = \frac{4.1}{2} + 1^2 = 2 + 1 = 3$

Área em verde

A área em verde será igual a área do triângulo de base 4 e altura 2 menos a área do triângulo de base 4 e altura 1:

$A_{ve} = \frac{4.2}{2} - \frac{4.1}{2} = 4 - 2 = 2$

b) Ligando o ponto P ao ponto C temos duas regiões: em vermelho e em azul.

Como BC = x, então AC = 1 - x.

A área em vermelho é igual a área de um trapézio, ou seja,

$A_v = \frac{(2 + 1 - x).4}{2} = (3 - x).2 = 6 - 2x$

A área em azul é igual a área de um triângulo de base 4 e altura x + 1 mais a área do quadrado de lado 1:

$A_a = \frac{4.(x + 1)}{2} + 1^2 = 2(x + 1) + 1 = 2x + 3$

Como as áreas são iguais, então:

6 - 2x = 2x + 3

4x = 3

x = 3/4