Question

Os numeros a,b e c sao tais que seus logaritmos decimais log a, log b e log c, nesta ordem, estao em progressao aritmetica. Sabendo que log b=2, determine o produto abc.

Answer 1

Se três termos estão em PA, o termo médio é a média aritmética do antecessor e o sucessor: 

2.logb = log a + log c 

Somando log b em ambos os membros, temos: 

2.logb + log b = log a + log c + log b 

3.log b = log (a.b.c) 

Substituindo log b = 2 no primeiro membro, temos: 

3.2 = log (a.b.c) 

log (a.b.c) = 6 

(a.b.c) = 10^6

Answer 2

❑ O produto abc = $10^{6}$

➯ Essa é uma questão que evolve logaritmos e progressão aritmética. Antes de iniciar a resolução, vamos abordar conteúdos que envolvem logaritmo e uma propriedade de progressão aritmética. Para relembrar melhor progressão aritmética, leia em:

• https://brainly.com.br/tarefa/28754750

• https://brainly.com.br/tarefa/28709853

❑ Definição formal de logaritmo

$\boxed {\ log _ {a} b = c \Leftrightarrow a^{c}=b }$

Sendo:

• a = base

• b = logaritmando

• c = logaritmo

❑ Logaritmo do produto

$\boxed {\ log _ {a} (b\cdot c) = \ log _ {a} b + \ log _ {a} c}$

❑ P.A de 3 termos

Vamos chamar os termos da nossa progressão aritmética, nessa ordem, de a1, a2 e a3. Logo, temos que o termo do meio (a2) é a média aritmética dos termos que separa (a1 e a2):

$\boxed{ a2 = \dfrac{a1 + a3}{2} }$

❑ Resolução da questão

➯ Temos que log a, log b e log c formam uma progressão aritmética. Logo, podemos utilizar  a propriedade de P.A de 3 termos. Note que o termo central é log b:

$\ log _ {} b= \dfrac{loga + logc}{2}$

$2 \cdot log b = log a + log c$

Como log b = 2:

$2 \cdot 2 = log a + log c$

$\boxed{log a + log c = 4}$

➯ Agora, vamos calcular a soma de log a + log b + logc:

$log a + log b + log c =$

$(log a + log c) + log b =$

• Note que log a + log c = 4 e log b = 2:

$(log a + log c) + log b = 4 + 2$

$\boxed{log a + log b + log c = 6}$

➯ E agora? Bem, podemos utilizar a propriedade do logaritmo do produto. Como temos vários logaritmos de mesma base sendo somados, podemos escrever como um único logaritmo. Note que os logaritmandos dos logaritmos que estão sendo somados são um produto no logaritmando do nosso log único.

$log a + log b + log c = log (a \cdot b \cdot c) = 6$

$\boxed{log (abc) = 6}$

➯ Perceba que quando nosso logaritmo não tem nenhuma base expressa, essa base vale 10. Por isso, vamos agora aplicar a definição formal de logaritmo:

$log (abc) = 6$ é o mesmo que $log _ {10} (abc) = 6$

Aplicando a definição e transformando, assim, o log em equação exponencial:

$10^{6} = abc$

$\boxed{ abc = 10^{6} }$

❑ Leia mais sobre logaritmo em:

• https://brainly.com.br/tarefa/31476807

• https://brainly.com.br/tarefa/31476007

• https://brainly.com.br/tarefa/26022678