Question

volume de um solido usando integral

$x=1-y^2, x=2+y^2 , y=-1, y=1$, rotaciona em torno do eixo y.

Answer 1

Primeiramente, vamos calcular os pontos de interseção entre as curvas.

Sendo y = -1. temos que:

x = 1 -(-1)²

x = 1 - 1

x = 0

Logo, temos o ponto (0,-1)

x = 2 + (-1)²

x = 2 + 1

x = 3

Logo, temos o ponto (3,-1)

Sendo y = 1, temos que:

x = 2 + 1²

x = 3

Logo, temos o ponto (3,1)

x = 1 - 1²

x = 0

Logo, temos o ponto (0,1)

O plano a ser girado em torno do eixo y é o que está em vermelho na figura abaixo.

Para calcular o volume, utilizaremos a fórmula:

$V = \pi \int\limits^a_b {(R(y)^2-r(y)^2)} \, dy$

sendo que:

a = 1

b = -1

r(y) = 1 - y²

R(y) = 2 + y²

Assim,

$V = \pi\int\limits^1_{-1} {((2+y^2)^2-(1-y^2)^2)} \, dy$

$V = \pi \int\limits^1_{-1} {4+4y^2+y^4-1+2y^2-y^4} \, dy$

$V = \pi \int\limits^1_{-1} {6y^2+3} \, dy$

Integrando:

V = π(2y³ + 3y)

Aplicando os limites de integração:

V = π(2 + 3 - (-2 - 3))

V = π(5 + 5)

Portanto, o volume do sólido é:

V = 10π u.v.