Question

a sequência (a;a+b;2a...)é uma p.a e a sequência (a;a+b;2a+4...)é uma p.g. qual a soma dos 10 primeiros termos da progressão aritmética?

Answer 1

Olá Bela!

$P.A(a;a+b;2a...)\\ \\ \\ A+B=2A+A/2\\ \\ 2(A+B)=2A+A\\ \\ 2A+2B=2A+A\\ \\ 2B=A\\ \\ B=A/2$

Vamos pra PG agora:

$P.G(a;a+b;2a+4...)\\ \\\frac{A+B}{A} = \frac{2A+4}{A+B} \\ \\ (A+B).(A+B)=A.(2A+4)$

Agora vamos substituit o valor do B da PA , no B da PG:

$(A+B).(A+B)=A.(2A+4)\\ \\ (A+\frac{A}{2}).(A+\frac{A}{2} )=2A^{2}+4A\\ \\ A^{2}+\frac{A^{2}}{2} +\frac{A^{2}}{2}}{} +\frac{A^{2}}{4} =2A^{2}+4A\\ \\ 4A^{2}+2A^{2}+2A^{2}+A^{2}=8A^{2}+16A\\ \\ 9A^{2}=8A^{2}+16A\\ \\ 1A^{2}-16A=0\\\\ \\ SOMA/PRODUTO\\ \\ \\ S=x^{1}+x^{1}=-b/a\\ P=x^{1}*x^{2}=c/a\\ \\ S=16+0=16\\ P=16*0=0$

Como achamos o valor do A=16 , vamos achar o valor do B.

$B=\frac{A}{2} \\ \\ B=\frac{16}{2} \\ \\ B=8$

Como a questão quer a soma dos 10 primeiros termos da P.A temos:

$(a;a+b;2a...)\\ \\ (16+16+8+2*16)\\\\ (16,24,32,...) \\ \\ a1=16\\ n=10\\ an=?\\ r=8\\ \\ an=a1+(n-1).r\\ \\ an=16+(10-1).8\\ \\ an=16+9.8\\ \\ an=16+72\\ \\ (an=88)\\\\\\\\ \\ Sn=(a1+an).n/2\\ \\ Sn=(16+88).10/2\\ \\ Sn=104.10/2\\ \\ Sn=1040/2\\ \\ (S10=520)$

Portanto a soma dos 10 primeiros termos da P.A é 520.

Espero ter te ajudado!