uma matriz quadrada se diz ortogonal se sua inversa é igual à sua transposta. dada a matriz begin mathsize 12px style a equals open parentheses table row cell x minus 3 end cell cell negative square root of 5 end cell row cell square root of 5 end cell cell x minus 3 end cell end table close parentheses end style, em que x pertence ao conjunto dos números complexos diferentes de zero. a soma dos valores de x que tornam a uma matriz ortogonal é igual a:
Respostas
As alternativas são:
a) 6 + 4i
b) 6 - 4i
c) 6
d) 4
Temos que: a₁₁ = x - 3, a₁₂ = -√5, a₂₁ = √2 e a₂₂ = x - 3.
Montando a matriz A(2x2):
Como diz o enunciado, uma matriz é ortogonal quando a matriz transposta é igual a sua inversa, ou seja,
Multiplicando ambos os lados pela matriz A:
Como , então:
A matriz transposta de A é:
Então,
Resolvendo, podemos montar o seguinte sistema:
{(x - 3)² + 5 = 1
{√5(x - 3) - √5(x - 3) = 0
{√5(x - 3) - √5(x - 3) = 0
{(x - 3)² + 5 = 1
Então, temos que:
(x - 3)² + 4 = 0
x² - 6x + 9 + 4 = 0
x² - 6x + 13 = 0
Utilizando a fórmula de Bháskara:
Δ = (-6)² - 4.1.13
Δ = 36 - 52
Δ = -16
Como -16 = (-1).16 e i² = -1, então -16 = 16i².
Portanto, a soma dos valores de x é:
3 + 2i + 3 - 2i = 6
Alternativa correta: letra c).
Resposta:
ALTERNATIVA CORRETA É A C) 6
Explicação:
ESPERO TER AJUDADO