Question

Sabendo que 2 sen (x) + cos(x) = 2, com x pertencente ao intervalo ] 0, π/2[ , então, o valor da cossec (x) é igual a:
a) 4/3.
b) 5/4.
c) 5/3.
d) 2√3/3.

Answer 1

É dada a equação

2 sen(x) + cos(x) = 2

com x ∈ ]0, π/2[.

Como sen(x) ≠ 0, podemos dividir ambos os lados por sen(x):

$\mathsf{\dfrac{2\,sen(x)+cos(x)}{sen(x)}=\dfrac{2}{sen(x)}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{2\,sen(x)}{sen(x)}+\dfrac{cos(x)}{sen(x)}=\dfrac{2}{sen(x)}}\\\\\\ \mathsf{2+cotg(x)=2\,cossec(x)}\\\\ \mathsf{cotg(x)=2\,cossec(x)-2}$

Eleve os dois lados ao quadrado:

$\mathsf{cotg^2(x)=(2\,cossec(x)-2)^2}\\\\ \mathsf{cotg^2(x)=4\,cossec^2(x)-8\,cossec(x)+4}$

Aplique no lado esquerdo a identidade trigonométrica

cotg²(x) = cossec²(x) − 1

e a equação fica

$\mathsf{cossec^2(x)-1=4\,cossec^2(x)-8\,cossec(x)+4}\\\\ \mathsf{0=4\,cossec^2(x)-cossec^2(x)-8\,cossec(x)+4+1}\\\\ \mathsf{3\,cossec^2(x)-8\,cossec(x)+5=0}$

Faça uma mudança de variável:

$\mathsf{cossec(x)=t\qquad com~t\ \textgreater \ 1}$

e a equação fica

$\mathsf{3t^2-8t+5=0}$

A equação acima é uma equação do 2º grau na variável t. Podemos resolvê-la pela fórmula resolutiva de Báscara. Aqui vou optar pela fatoração por agrupamento.

Reescreva convenientemente − 8t como − 3t − 5t:

$\mathsf{3t^2-3t-5t+5=0}\\\\ \mathsf{3t(t-1)-5(t-1)=0}\\\\ \mathsf{(3t-5)(t-1)=0}\\\\ \begin{array}{rcl}\mathsf{3t-5=0}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{t-1=0}\\\\ \mathsf{3t=5}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{t=1}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{5}{3}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{t=1}\end{array}$

A raiz t = 1 não serve, pois como o ângulo x é agudo, temos que

t = cossec(x) > 1.

Então, ficamos com

$\mathsf{t=\dfrac{5}{3}}\\\\\\ \mathsf{cossec(x)=\dfrac{5}{3}\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

Resposta: alternativa c) 5/3.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)