Question

Determine as equações parametricas do plano que passa pelo ponto A( 2,3,5) e é paralelo aos vetores u= (4,-1,3) e v=(0,7,1). O ponto B(-2,11,3), pertence a esse plano.

Answer 1

A = (2, 3, 5)

u = (4,0-1, 3)

v = (0, 7, 1)

Pela definição de um plano, um ponto P(x, y, z) pertence a esse plano se, e somente se, AP, u e v forrem coplanares, ou seja, podemos escrever um como combinação dos demais, Assim, podemos escrever:

$AP = \alpha u+\beta v\\ \\ P - A = \alpha u+\beta v\\ \\ P = A + \alpha u+\beta v\\ \\ (x, y, z) = (2,3,5)+\alpha (4,-1,3)+\beta (0,7,1)$

As equações paramétricas serão:

$x=2+4\alpha \\ y=3-\alpha +7\beta \\ z=5+3\alpha +\beta$

Para saber se B (-2, 11, 3) pertence ao plano, basta trocar P por B

$-2=2+4\alpha \\ 11=3-\alpha +7\beta \\ 3=5+3\alpha +\beta$

Vamos determinar $\alpha$ e $\beta$

$-2=2+4\alpha\\ -2-2=4\alpha \\ 4\alpha =-4\\ \alpha =\frac{-4}{4} \\ \alpha =-1$

$11=3-\alpha +7\beta\\ 11=3-(-1) +7\beta \\ 11=4 +7\beta \\ 7\beta =11-4\\ 7\beta=7 \\ \beta =1$

Para confirmar:

$3=5+3\alpha +\beta \\ 3=5+3.(-1) +\beta \\ 3=5-3 +\beta \\ 3 = 2 + \beta \\ \beta =1$

Como conseguimos determinar alfa e beta, trocando P por B, significa que AB, u e v são coplanares, e assim determinam um plano.

Portanto, alternativa E.