Question

Um polígono P1 tem o dobro do número de lados do polígono P2 e 45 diagonais a mais. Qual é o polígono P1?

Answer 1

O número 'd' de diagonais de um polígono de 'n' lados é dado pela fórmula:

$d=\dfrac{n\cdot(n-3)}{2}$
_______________________

Um polígono P₁ tem o dobro do número de lados do polígono P₂:

$n_{1}=2\cdot n_{2}$

O polígono P₁ tem 45 diagonais a mais que P₂:

$d_{1}=d_{2}+45\\\\\\\dfrac{n_{1}\cdot(n_{1}-3)}{2}=\dfrac{n_{2}\cdot(n_{2}-3)}{2}+45$

Multiplicando todos os membros por 2:

$n_{1}(n_{1}-3)=n_{2}(n_{2}-3)+45$

Como n₁ = 2n₂:

$2n_{2}(2n_{2}-3)=n_{2}(n_{2}-3)+90\\4(n_{2})^{2}-6n_{2}=(n_{2})^{2}-3n_{2}+90\\4(n_{2})^{2}-(n_{2})^{2}-6n_{2}+3n_{2}-90=0\\3(n_{2})^{2}-3n_{2}-90=0~~~~~(\div30)\\(n_{2})^{2}-n_{2}-30=0$

Resolvendo por soma e produto:

$S=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{(-1)}{1}=1\\\\\\P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-30}{1}=-30$

Raízes: 2 números cuja soma é 1 e o produto é -30

$(n_{2})'=-5\\(n_{2})''=6$

Como n₂ > 0, descartamos n₂ = -5

$\boxed{\boxed{n_{2}=6}}$

Achando n₁:

$n_{1}=2\cdot n_{2}=2\cdot6=12$

P₁ é um polígono de 12 lados: O dodecágono