Crie uma fórmula fechada para determinar o cálculo da soma de números ímpares positivos na recursão: $(1 + 3 + 5 + 7... 2n-1)$ , onde n é um número positivo.

LordJoka: Preciso de uma fórmula que me diga a soma, sem precisar fazer essa recursão.

Msinis: ah ta, entendi, vai ser um somatorio

LordJoka: Exatamente

Msinis: vou escrever ele ali embaixo

Lukyo: Como é uma P.A., basta usar a fórmula de recursão da própria P.A.

Lukyo: a(n) = a(n-1) + r, onde r é a razão da P.A., isto é, a diferença entre dois termos consecutivos.

Lukyo: No seu caso, a razão será r = 2.

Lukyo: A lei da sua sequência é: a(1) = 1; a(n) = a(n-1) + 2 para n > 1.

Lukyo: A fórmula para a soma pode ser obtida de forma semelhante, nesse caso você terá uma outra sequência (1, 4, 9, 16, 25, ...) onde a diferença entre dois termos consecutivos é 2n-1.

Lukyo: Se você usar a lei telescópica para o somatório o resultado sai rapidinho: Somatório de [ a(k+1) - a(k) ] = a(n+1) - a(1), onde k varia de 1 a n.

Respostas

respondido por: Peterson42

Olá!

Essa fórmula já existe!

$(1+3+5+7+...+2n-1)=n^{2}$

Bons estudos!
Espero ter ajudado.

LordJoka: hmmm... poderia me dizer como chegar nela? É utilizada indução, substituição ou outro método? Gostaria de entender o processo, estou fazendo pesquisa de complexidade.

Peterson42: Acredito que seja indução, pois ela é bem conhecida e até bem simples...

LordJoka: Sério? Estou desde cedo pesquisando e tentando resolver. Conseguiria me explicar?

Peterson42: Não sei como explicar o embasamento teórico. Com substituições, para 1, 2, 3 e 4 é possível perceber o padrão. Infelizmente, não vou conseguir te afirmar com certeza se esse é o método ou se existe outro mais complexo.

Msinis: É possivel provar por indução essa formula, mas como chegar nela...

LordJoka: Pesquisando por essa expressão, achei o cálculo, mas ainda estou sem entender:

1+3+5+...+(2n-1)=
1+2+3+...+(2n-1)-2-4-6-....-(2n-2)=
(2n-1)*2n/2 -2 *[1+2+3+...+(n-1)]=
(2n-1)*n-2*(n-1)*n/2=
2n²-n-n²+n=
n²

Peterson42: Tentou a soma de termos de uma PA?

LordJoka: hmmm eu não tinha pensado nisso! Já que 2n-1 é o enésimo termo, ficaria:

S=((a1+an)/2)*n
S=((1+2n-1)/2)*n = n^2

LordJoka: Isso resolve o prolema, foi mais simples do que imaginei.

Msinis e Peterson42, obrigado pela ajuda!

Peterson42: Por nada!

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