Question

O espaço ocupado por um objeto é representado pela seguinte função:

f(x, y) =2xe^y + 4xy

Considerando o cálculo do volume do objeto pela integral dupla aplicada à função, analise as afirmações a seguir:

I. Considerando que x varie entre 0 e 2,5mm e y varie entre 0 e 6mm, o volume encontrado é de aproximadamente 2740mm3.
II. Considerando que x varie entre 0 e 2mm e y varie entre 1 e 3mm, o volume encontrado é de aproximadamente 101mm3.
III. Considerando que x varie entre 0 e 6mm e y varie entre 0 e 3mm, o volume encontrado é de aproximadamente 525mm3.

É correto o que se afirma em:

Alternativas

Alternativa 1:
I, apenas.

Alternativa 2:
II, apenas.

Alternativa 3:
III, apenas.

Alternativa 4:
I e II, apenas.

Alternativa 5:
I, II e III.

Answer 1

Vamos analisar cada afirmativa:

I. Temos que 0 ≤ x ≤ 2,5 e 0 ≤ y ≤ 6.

Então,

$\int\limits^6_0 \int\limits^{2,5}_0 {2xe^y+4xy} \, dxdy =$

$\int\limits^6_0 {x^2e^y+2x^2y} \, dy=$

Substituindo os limites de integração de x:

$\int\limits^6_0 {6,25e^y+12,5y} \, dy=$

$6,25e^y+\frac{12,5y^2}{2} =$

Substituindo os limites de integração de y:

$6,25e^6 + \frac{12,5.6^2}{2} - 6,25e^0-\frac{12,5.0^2}{2} =$

2740,18

A afirmativa está correta.

II. Temos que 0 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 3.

Então,

$\int\limits^3_1 \int\limits^2_0 {2xe^y+4xy} \, dxdy=$

$\int\limits^3_1 {x^2e^y+2x^2y} \, dy=$

Substituindo os limites de integração de x:

$\int\limits^3_1 {4e^y+8y} \, dy=$

$4e^y+4y^2=$

Substituindo os limites de integração de y:

4e³ + 4.3² - 4e + 4.1² =

101,47

A afirmativa está correta.

III. Temos que 0 ≤ x ≤ 6 e 0 ≤ y ≤ 3.

Então,

$\int\limits^3_0 \int\limits^6_0 {2xe^y+4xy} \, dxdy=$

$\int\limits^3_0 {x^2e^y+2x^2y} \, dy=$

Substituindo os limites de integração de x:

$\int\limits^3_0 {36e^y+72y} \, dy=$

$36e^y+36y^2=$

Substituindo os limites de integração de y:

36e³ + 36.3² - 36e⁰ - 36.0² =

1011,08

A afirmativa está errada.

Portanto, a alternativa correta é a alternativa 4.