Question

Questão de Derivada!
Gostaria de saber como se chega na resposta.
Gabarito letra D.

Answer 1

$\boxed{f(x) = e^{x^2}*sen(5x)}}$

usando a regra do produto
$\boxed{\boxed{(U*V)' = U' * V + U*V'}}$

sabendo que pela regra da cadeia
$\boxed{e^u = e^u * (u')}\\\\ \boxed{sen(u) = cos(u)*(u')}$

então temos
$u = e^{x^2}\\\\u' = e^{x^2}* (2*x^{2-1}) = 2x*e^{x^2}$

$V = sen(5x)\\\\V' = cos(5x)*(5*1) = 5*cos(5x)$

colocando na regra do produto
$f'(x) = 2x*e^{x^2}*sen(5x)+e^{x^2}*5*cos(5x)$

colocando e^(x²) em evidencia
$\boxed{\boxed{f'(x)=e^{x^2}*(2x*sen(5x)+5*cos(5x))}}$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Derivada d'uma Função Composta :

Dada a função :

$\mathsf{ f(x)~=~ e^{x^2} . \sin(5x) }$

Para a derivar uma função , primeiramente temos que identificar a natureza da mesma .

Na função Dada é notório que temos uma Multiplicação de duas Funções , tal que :

$\mathsf{ f(x)~=~ h(x) . g(x) }$ , então para tal vamos recorrer a regra do produto , que diz :

$\mathsf{ \red{ f'(x)~=~h'(x).g(x) + h(x) . g'(x) } }$

Aplicando a critério acima , vamos ter :

$\mathsf{ f'(x)~=~ \Big( e^{x^2} \Big)' . \sin(5x) + e^{x^2} . (\sin(5x))' }$

Vou destacar aquí , as regras de derivação para a função exponencial e a função seno :

$\begin{cases} \mathsf{a^{x}~=~a^{x} . ln(a) . (x)' } \\ \\ \mathsf{ \sin(ax)~=~\cos(ax) . (ax)' } \end{cases}$

Aplicação :

$\mathsf{ f'(x)~=~e^{x^2}.ln(e).(x^2)' . \sin(5x) + e^{x^2} . \cos(5x) . (5x)' }$

Vou mostrar aquí , a regra de derivação d'uma Função simples :

$\mathsf{y~=~x^n \to y'~=~n.x^{n-1} }$

Aplicação :

$\mathsf{ f'(x)~=~e^{x^2} . 1 . 2x^{2-1} . \sin(5x) + e^{x^2}.\cos(5x).5 }$

$\mathsf{ f'(x)~=~e^{x^2}.2x.\sin(5x) + e^{x^2}.5\cos(5x) }$

Vamos evidênciar o fa[c]tor comum :

$\mathsf{ f'(x)~=~e^{x^2} . \Big( 2x\sin(5x) + 5\cos(5x) \Big) }$

Lembrar que a adição goza da propriedade comutativa, ou seja :

a + b = b + a

, com isso pode-se concluir que :

$\mathsf{ \green{ f'(x)~=~ e^{x^2} . \Big( 5\cos(5x) + 2x\sin(5x) \Big) } }$

Alternativa D)

Espero ter ajudado bastante!)

:::: Att : Joaquim-Logarítmo ::::