Question

1) Calcular a área limitada pela função f(x)=3x²+1, pelo eixo do x, e pelas retas x=0 e x=1. Escreva a função de f(x) primitiva de f(x)=3x²+1, e em seguida calcule a área A=f(b)- f(a) sendo a e b os limites da integração.
2)calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos x e da área sombreada do exercício 1, ou seja, gerado pela função =3x²-1, sabendo que é dado pela fórmula de V.

Answer 1

$f(x) = 3x^2+1$

no intervalo de x=0 até x=1
$\boxed{A=\int\limits^1_0 {3x^2+1} \, dx }$

primivando a função
$\int\limits {3x^2+1} \, dx = 3 \frac{x^{2+1}}{2+1}+1x = \boxed{ x^3+x }$

calculando A=f(b) - f(a) que será  f(1) - f(0)
$A=(1^3+1)-(0^3-0) = 2$

$\boxed{A=\int\limits^1_0 {3x^2+1} \, dx =2}$

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2) rotacionando em torno do eixo x
$V= \pi*\int\limits^a_b {[f(x)]^2} \, dx$

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$V=\pi* \int\limits^1_0 {(3x^2+1)^2} \, dx \\\\\ V=\pi* \int\limits^1_0 {9x^4+6x^2+1} \, dx =\\\\V=\pi*| \frac{9x^5}{5}+ \frac{6x^3}{3}+x|^1_0 \\\\V=\pi*[( \frac{9}{5}+ \frac{6}{3}+1) - ( \frac{0}{5}+ \frac{0}{3}+0)] \\\\V=\pi* \frac{24}{5}$