Question

Para medir a altura de uma montanha, uma pessoa procura uma região plana próxima da montanha, e encontrou um ponto de onde ela vê o ponto mais alto da montanha com um ângulo de 60º, depois ele anda 600m deste ponto, no sentido contrário da montanha, para ver o ponto mais alto com um ângulo de 30º. Qual é a altura da montanha?
(√3 =1,732)

Answer 1

Vamos chamar a altura da montanha de y e o espaço restante até a montanha pelo solo de x.

Vamos lá:

Primeiramente:

tg60 = y/x
√3 = y/x
y = √3.x

Temos também:

tg30 = y/600+x
√3/3 = y/600+x
600√3 + √3.x = 3y
y = 600√3 + √3.x / 3

Sabemos que y é igual para ambas:

600√3 + √3.x / 3 = √3.x
600√3 + √3.x = 3√3.x
3√3.x = 600√3 + √3.x
3√3.x - 1√3.x = 600.√3
2√3.x = 600√3
2x = 600
x = 600/2
x = 300 m

√3 = y/300
y = 300√3 m.
y = 300.1,732
→ y = 519,6 m

Answer 2

Mariihmendes,

Primeiro, vamos identificar os pontos através de letras:

- a base da montanha, ponto A

- o topo da montanha, ponto B

- o ponto onde a pessoa vê a montanha sob um ângulo de 60º, ponto C

- o ponto onde ela vê a montanha sob um ângulo de 30º, ponto D

Agora, a resolução:

O triângulo BCD é um triângulo isósceles (BC = CD), pois:

- ângulo C = 180º - 60º = 120º (o ângulo ACB mede 60º conforme o enunciado)

- ângulo D = 30º (dado do enunciado)

- ângulo B = 30º, pois a soma dos ângulos internos é igual a 180º:

B + C + D = 180º

B + 30º + 120º = 180º

B = 180º - 30º - 120º = 30º

Então, a distância BC = CD = 600 m

Analisando agora o triângulo ABC, que é retângulo, e no qual queremos obter a medida de AB, que é a altura da montanha, conhecemos:

- ângulo C = 60º

- hipotenusa BC = 600 m

- AB, cateto oposto ao ângulo C

Então, se você aplicar a função trigonométrica seno, terá:

seno 60º = cateto oposto ÷ hipotenusa

0,866 = AB ÷ 600 m

AB = 0,866 × 600 m

AB = 519,60 m

R.: A altura da montanha é aproximadamente igual a 519,60 m