Question

determine os valores de x, y e z que satisfazem o sistema

x-3y +z=-4
2x +y-2z=11
-x+2y-5z=15

Answer 1

Olá.

Um dos métodos de resolução possível é o de escalonamento. O método de escalonamento consiste em fazer manipulações algébricas com as equações com o intuito de anular variáveis, como o exemplo abaixo, onde as variáveis são x, y, z:

$\begin{cases} ax+by+cz=d\\ 0x+ey+fz=g\\ 0x+0y+hz=j \end{cases}$

Demonstrarei as operações a serem feitas e seus respectivos resultados. O sistema escalonado deverá ser ficar, em tese, do seguinte modo:

$\begin{cases} Eq_1:~x-3y+z=-4\\ Eq_2:~2x+y-2z=11\\ Eq_3:~-x+2y-5z=15 \end{cases}\longrightarrow \begin{cases} Eq_1\\ E1_4=2Eq_1-Eq_2\\ Eq_6=Eq_4-7Eq_5 \end{cases}$

Demonstro abaixo como surgirão as novas equações. Vamos aos cálculos.

$Eq_4=2Eq_1-Eq_2\\ Eq_4=-7y+4z=-19\\\\ Eq_5=Eq_3+Eq_1\\ Eq_5=y-4z=11\\\\ Eq_6=Eq_4-7Eq_5\\ Eq_6=32z=-96$

Com base no que foi dito acima, podemos montar o seguinte sistema:

$\begin{cases} Eq_1\\ Eq_4\\ Eq_6 \end{cases}\longrightarrow \begin{cases} x-3y+z=-4\\-7y+4z=-19\\ 32z=-96 \end{cases}$

Com esse última sistema linear, podemos encontrar os valores das variáveis de forma simples a partir do método de substituição. Vamos aos cálculos.

$32z=-96\\\\z=\dfrac{-96}{32}=-3\\\\\\ -7y+4z=-19\\\\ -7y+4(-3)=-19\\\\ -7y=-19+12\\\\ y=\dfrac{-7}{-7}=1\\\\\\ x-3y+z=-4\\\\ x-3(1)+(-3)=-4\\\\ x-3-3=-4\\\\ x=-4+6=2$

As variáveis são:

$\begin{cases} a=2\\ b=1\\ c=-3 \end{cases}$

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.

Bons estudos.

Answer 2

Usando determinante de matrizes, montamos uma matriz 3x3 com os coeficientes do sistema, achamos seu determinante:

1 - 3 1 1 -3 ⇒ lembrando que repetimos as duas 1ªs colunas

2 1 -2 2 1

-1 2 -5 -1 2

D = (-5-6+4) - (-1 -4 + 30) ∴ D = -7 - (25) ∴ D = - 32

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Achando Dx (substituindo os coeficientes de x pelos termos independentes):

-4 -3 1 -4 -3 ⇒ lembrando que repetimos as duas 1ªs colunas

11 1 -2 11 1

15 2 -5 15 2

Dx = (20 + 90 + 22) - (15 + 16 + 165) ∴ Dx = 132 - 196 ∴ Dx = -64

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Achando Dy (substituindo os coeficientes de y pelos termos independentes:

1 -4 1 1 -4

2 11 -2 2 11

-1 15 -5 -1 15

Dy = (-55 - 8 + 30) - (-11 - 30 + 40) ∴ Dy = 33 - (-1) ∴ Dy = -11 + 1 ∴ Dy = -32

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Achando Dz (substituindo os coeficientes de z pelos termos independentes:

Dz = 1 -3 -4 1 -3 ⇒ lembrando que repetimos as duas 1ª s colunas

2 1 11 2 1

-1 2 15 -1 2

Dz = (15 + 33 - 16) - (4 + 22 - 90) ∴ Dz = 32 - (-64) ∴ Dz = 32 + 64 ∴ Dz = 96

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Achando z, y e z:

x = Dx /D ∴ X = -64/-32 ∴ Dx = 2

y = Dy/D ∴ Dy = -32/-32 ∴ Dy = 1

z = Dz/D ∴ Dz = 96/-32 ∴ Dz = -3

S= {2, 1, -3}

Obs.: para usar este método é preciso ter conhecimento de como calcular determinante de uma matriz 3x3.