Question

Seja r= f(0) a equação polar de uma curva, sendo f derivável em [01, 02]. O comprimento desta curva pode ser calculado através da fórmula:L= f 01 02 raiz [f(0)]² + [f'(0)]²d0.calcule o comprimento da cardióide r= a(1 + cos0) com a>0.

Answer 1

Temos: a(1+cosθ) = (a + acosθ)

Utilizando a fórmula para calcular o comprimento em coordenadas polares, teremos:

C : r = f(θ), α ≤ θ ≤ β

$L = \int\limits^\alpha_\beta {\sqrt[]{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2}} \, d\theta\\sendo (\frac{dr}{d\theta})^2 = (0 - asen\theta)^2 = a^2sen^2\theta \\r^2 = (a + acos\theta)^2 = a^2 + 2a^2cos\theta + a^2cos^2\theta\\ L = \int\limits^\alpha_\beta {\sqrt[]{ a^2 + 2a^2cos\theta + a^2cos^2\theta + a^2sen^2\theta} \, d\theta$

Perceba: todos os valores estão sendo multiplicados por a², vamos entçao coloca-lo em evidencia:

$L = \int\limits^\alpha_\beta {\sqrt[]{ a^2 + 2a^2cos\theta + a^2cos^2\theta + a^2sen^2\theta} \, d\theta$

$L = \int\limits^\alpha_\beta {\sqrt[]{ a^2 ( 2cos\theta + cos^2\theta + sen^2\theta)} \, d\theta$

Sendo sen²o + cos²o = 1, faremos:

$L = \int\limits^\alpha_\beta {\sqrt[]{ a^2 ( 2cos\theta +1)} \, d\theta$

$L = \int\limits^\alpha_\beta a {\sqrt[]{ 2cos\theta +1} \, d\theta$

$L = a \int\limits^\alpha_\beta {\sqrt[]{2cos\theta +1} \, d\theta$

Agora, precisamos aplicar os limites de integração que você não colocou no enunciado :)