Question

(UFRGS 2017)Considere um quadrado de lado 1. Foram construídos dois círculos de raio R com centros em dois vértices opostos do quadrado e tangentes entre si; dois outros círculos de raio r com centros nos outros dois vértices do quadrado e tangentes aos círculos de raio R, como ilustra a figura abaixo.A área da região sombreada é:

Answer 1

Como os dois círculos maiores são tangentes, então ligando os seus centros teremos a diagonal do quadrado, ou seja,

2R = l√2

Como l = 1, então:

2R = √2

$R = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Assim, $r = 1-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Daí, temos que a área sombreada será igual a área do quadrado menos a área dos 4 setores, ou seja,

$As = 1 - \frac{\pi r^2}{2} - \frac{\pi R^2}{2}$

Substituindo os valores de r e de R na fórmula acima, encontramos que a área sombreada é igual a:

$As = 1 - (\pi - \frac{\sqrt{2} \pi}{2})$

Perceba que podemos colocar o π em evidência. Assim, reescrevendo o valor da área sombreada:

$As = 1 + \pi(\frac{\sqrt{2}}{2}-1)$

Alternativa correta: letra e).