Question

(FUVEST 2016)Cada aresta do tetraedro regular ABCD mede 10. Por um ponto P na aresta AC, passa o plano α paralelo às arestas AB e CD. Dado que AP = 3, o quadrilátero determinado pelas interseções de α com as arestas do tetraedro tem área igual a:A) 21B) 21 raíz de 2 / 2C) 30D) 30 / 2 E) 30 raíz de 3 / 2

Answer 1

Olá!

Para resolver a questão temos que fazer o desenho das figuras geometricas segundo as caracteristicas dadas (imagem anexa)

Dessa forma vamos a observar que temos:

- Um tetraedro regular ABCD, cada aresta (AD, BD, BC) mede 10.

- Por um ponto P na aresta AC, passa o plano α paralelo às arestas AB e CD, ou seja, temos a interseção do plano α dos puntos Q, R, S com as arestas AD, BC ,BD.

- O segmento CD é ortogonal a BC. Lembrando que o tetraedro regular tem duas arestas ortogonais.

- Os segmentos CD e PS são paralelos, assim como também são AB e PQ.

- Temos que o plano α é um retangulo, já que os segmentos RS e PS são perpendiculares, assim como também são QR e PQ.

- São formados dois triângulos equilateros QBR e PSA, e seu lado vai ser = 3

Sabendo que o segmento AC = 10 e AP = 3, então:

$PC = 10 - 3 \\</p><p>PC = 7$

Também podemos observar que são formados dois triangulos equilateros maiores: DSR e PQC, e seu lado é = 7

Sabendo isso podemos determinar a área do plano α, quadrilatero, PQRS é:

$A_{Q} = Lado \;a \; * Lado\; b\\ * A_{Q} = 3 * 7 = 21$

Assim a alternativa correta é: A) 21