Respostas
A álgebra, como todo objeto matemático existe para formalizarmos um conhecimento exato.
Por exemplo, o que me garante que um numero inteiro vezes outro numero inteiro resulta em inteiro? Argumentos de álgebra.
Por que podemos calcular algo com certeza infalível de que os números não vão nos enganar? Por causa da álgebra. Nós podemos errar em contas, mas os números não falham.
A álgebra serve, principalmente, para construir tudo o que a matemática usa e provar o que podemos e não podemos. Dessa forma, nada fica "místico" , tudo fica por uma razão, tudo provado, sem falhas.
Basicamente, álgebra é uma das partes da matemática que servem para garantir que o sistema não vai apresentar falhas.
Seja esse sistema os numeros naturais, inteiros, racionais, reais, complexos, quaternos, tessarines, hiperreais, hipercomplexos ou até mesmo sistema não numéricos.