Question

determine x de modo que a sequencia (x+1, 3x -2 , 5x) seja uma p.g crescente

Answer 1

Para uma sequencia ser uma PG a razão entre os termos consequentes tem que ser igual.

Assim, a razão $q=\frac { { a }_{ 2 } }{ { a }_{ 1 } } [/text] tem que ser igual à razão [tex]q=\frac { { a }_{ 2 } }{ { a }_{ 1 } }$.

Então:

$\frac { 3x-2 }{ x+1 } =\frac { 5x }{ 3x-2 } \\ \left( 3x-2 \right) \cdot \left( 3x-2 \right) \quad =\quad \left( 5x \right) \cdot \left( x+1 \right) \\ 9{ x }^{ 2 }-2\cdot 3x\cdot 2+4\quad =\quad 5{ x }^{ 2 }+5x\\ 9{ x }^{ 2 }-12x+4\quad =\quad 5{ x }^{ 2 }+5x\\ 9{ x }^{ 2 }-5{ x }^{ 2 }-12x-5x+4\quad =\quad 0\\ 4{ x }^{ 2 }-17x+4\quad =\quad 0$

Resolvendo por bhaskara:

$4{ x }^{ 2 }-17x+4\quad =\quad 0\\ \Delta \quad =\quad (-17)^{ 2 }-4\cdot 4\cdot 4\quad =\quad 225\\ x\quad =\quad \frac { -(-17)\pm \sqrt { 255 } }{ 2\cdot 4 } \\ { x }_{ 1 }\quad =\quad \frac { 17+15 }{ 8 } \quad =\quad 4\\ { x }_{ 2 }\quad =\quad \frac { 17-15 }{ 8 } \quad =\quad \frac { 1 }{ 4 }$

Com x=4 a PG fica:

(5, 10, 20)

Com x=1/4 a PG fica:

(5/4, -5/4; 5/4)

Como você quer uma PG crescente, o resultado é x=4.

Answer 2

Para que a p.g seja crescente, x deve ser igual a 4.

Uma P.G. (Progressão geométrica) é uma sequência numérica, ou seja, uma sucessão de números,  onde, a partir do primeiro termo, os próximos são obtidos através da multiplicação de seu antecessor por uma razão (q). Sendo assim, a razão (q) se mantém sempre a mesma, sendo todos os termos da sequência submetidos a ela.

Para realizar a atividade proposta, precisamos encontrar a razão da progressão. Para isso, devemos dividir cada termo pelo seu antecessor:

$\frac{3x - 2}{x +1} = \frac{5x}{3x-2}\\\\(3x - 2). (3x-2) = 5x . (x+1)\\\\3x . (3x -2) -2 . (3x-2) = 5x . x + 5x . 1\\\\9x^{2} -6x - 6x +4 = 5x^{2} +5x\\\\9x^{2} - 12x + 4 = 5x^{2} +5x\\\\9x^{2} -5x^{2} -12x -5x +4 =0\\\\4x^{2} -17x +4$

Agora que chegamos ao resultado 4x² - 17x +4, devemos aplicar a fórmula de Bhaskara, onde a = 4, b = -17 e c = 4:

Δ = b² - 4ac

Δ = (-17)² - 4 . 4 . 4

Δ = 289 - 64

Δ = 225

x = - b ± √Δ / 2a

x = - (- 17) ± √225 / 2 . 4

x = 17 ± 15 / 8

x' = 17 + 15 / 8

x' = 32 / 8

x' = 4

x" = 17 - 15 / 8

x" = 2 / 8

x" = 1 / 4 =  0,25

Encontramos x' e x", então vamos aplicar o valor de cada um na sequência numérica a fim de descobrirmos qual a P. G. crescente:

• Considerando x' = 4, a p.g fica da seguinte forma (5, 10, 20), pois:

x + 1 = 4 + 1 = 5

3x - 2 = 3 . 4 - 2 = 10

5 . x = 5 . 4 = 20

• Considerando x" = 0,25, a p.g fica da seguinte forma (1,25, -1,25, 1,25), pois:

x + 1 = 0,25 + 1 = 1,25

3x - 2 = 3 . 0,25 - 2 = -1,25

5 . x = 5 . 0,25 = 1,25

Sendo assim, conclui-se que x é igual a 4 e a P.G. crescente formada é (5, 10, 20).

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