Question

Os lados de um triângulo medem 7m,9m e 14m. Calcule a medida da mediana relativa ao maior lado.

Answer 1

Vamos à resolução do problema proposto.

Existem três fórmulas da geometria euclideana plana, que por sua vez são utilizadas para o cálculo dos comprimentos das três medianas de um triângulo ABC (Δ ABC) qualquer. Chamaremos de A, B e C os vértices do triângulo e de a, b e c os respectivos lados opostos aos vértices A, B e C dele. Representaremos os comprimentos das medianas relativas aos lados a, b e c (ou aos vértices A,B e C) por $m_{a}$, $m_{b}$ e $m_{c}$, respectivamente. Explicitando todas as informações necessárias para introduzirmos as fórmulas correspondentes, de uma maneira simples e clara, estaremos aptos a listá-las. Com isso obteremos:

$m_{a}=\frac{1}{2}{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}$

e

$m_{b}=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2$

e

$m_{c}=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}$

Conhecendo as fórmulas acima, podemos facilmente calcular o comprimento da mediana informada no enunciado da questão proposta. Supondo que o lado a meça 14 m, o lado b tenha medida igual a 9 m e que o lado c tenha comprimento igual a 7 m, obtêm-se:

$m_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2(9^2+7^2)-14^2$ ⇔

$m_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2(81+49)-196}$ ⇔

$m_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2(130)-196}$ ⇔

$m_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{260-196}$ ⇔

$m_{a}=\frac{1}{2}\sqrt64}$ ⇔

$m_{a}=\frac{1}{2}.8$ ⇔

$m_{a}=4\ m$

A mediana relativa ao maior lado do triângulo ABC (lado cujo comprimento vale 14 metros), possui comprimento igual a 4 metros.

Abraços!