Question

25 PONTOS!

Resolva os dois problemas de Probabilidade:

1) Numa escola, 60% dos alunos têm acesso à internet em casa. Um grupo de 8 alunos é escolhido aleatoriamente. Encontre a probabilidade que demonstre que
a) exatamente 5 alunos tenham acesso à internet.
b) pelo menos 6 alunos tenham acesso à internet.

2) Num grupo de 40 pessoas, 10 são saudáveis e cada uma das 30 pessoas que sobraram tem hipertensão, colesterol alto ou ambos. Se 15 pessoas têm pressão alta e 25 têm colesterol alto, determine:
a) quantas pessoas têm pressão alta e colesterol alto.
b) Se uma pessoa desse grupo for selecionada aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele(a) tenha pressão alta (evento A)?

Answer 1

$\mathsf{(j \ + \ n)^{^p} \ = \ \sum_{_{q \ = \ 1}}^{^{p}} \ \dbinom{p}{q} \ \cdot \ j^{^{(p \ - \ q)}} \ \cdot \ q^{^p}}$

É o binômio de Newton. Temos uma distribuição binomial em que $\mathsf{j \ + \ n \ = \ 1}$ são duas probabilidades de eventos complementares tais que o binômio representa a permutação repetida dos eventos e as potências são a quantidade de vezes que cada evento se repete.

Supondo que $\mathsf{j \ = \ 60\% \ = \ \dfrac{3}{5}}$ e $\mathsf{n \ = \ 40\% \ = \ \dfrac{2}{5}}$

Temos que $\mathsf{p \ = \ 8}$ é a expansão do binômio para as $\mathsf{8}$ pessoas.

a) Para $\mathsf{8 \ - \ q \ = \ 5}$ repetições de $\mathsf{j}$:

$\mathsf{\dbinom{8}{3} \ \cdot \ \bigg(\dfrac{3}{5}\bigg)^{^{(8 \ - \ 3)}} \ \cdot \ \bigg(\dfrac{2}{5}\bigg)^{^{3}} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \\ \mathsf{56 \ \cdot \ \dfrac{3^5 \ \cdot \ 2^3}{5^8} \rightarrow} \\ \\ \\ \\ \mathsf{\Rightarrow \ \boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{7 \ \cdot \ 3^5 \ \cdot \ 2^6}{5^8}}}}}$

b) Para $\mathsf{8 \ - \ q \ = \ 6}$ repetições de $\mathsf{j}$:

$\mathsf{\dbinom{8}{2} \ \cdot \ \bigg(\dfrac{3}{5}\bigg)^{^{(8 \ - \ 2)}} \ \cdot \ \bigg(\dfrac{2}{5}\bigg)^{^{2}} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \\ \mathsf{28 \ \cdot \ \dfrac{3^6 \ \cdot \ 2^2}{5^8} \rightarrow} \\ \\ \\ \\ \mathsf{\Rightarrow \ \boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{7 \ \cdot \ 3^6 \ \cdot \ 2^4}{5^8}}}}}$

Na segunda questão, consideremos o conjunto $\mathsf{A \ = \ J \ + \ A \cap B}$, em que $\mathsf{J}$ é a parcela apenas dos que sofrem de hipertensão, $\mathsf{B \ = \ N \ + \ A \cap B}$, em que $\mathsf{N}$ é a parcela apenas dos que sofrem de colesterol alto, e \mathsf{A \cap B}[/tex] é a intersecção (os que possuem as duas complicações).

O grupo dos doentes é formado por $\mathsf{C \ = \ J \ + \ N \ + \ J \cap N \ = \ 30}$ (os que possuem uma, os que possuem outra e os que possuem as duas).

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{A \ - \ A \cup B}}_{J} \ + \ \underbrace{\mathsf{B \ - \ A \cup B}}_{N} \ + \ A \cup B \ = \ 30 \ \rightarrow}$

$\mathsf{J \ + \ N \ - \ A\cup B \ = \ 30 \ \rightarrow}$

Dado que $\mathsf{A \ = \ 15}$ e $\mathsf{B \ = \ 25}$, então:

$\mathsf{15 \ + \ 25 \ - \ A \cap B \ = \ 30 \ \therefore \\} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{A \cap B \ = \ 10}}}$

são os doentes que possuem colesterol e pressão altas!

b) Temos $\mathsf{15}$ hipertensos entre um total de $\mathsf{40}$ pessoas. Escolhendo apenas uma:

$\mathsf{\dfrac{C^{^1}_{_{15}}}{C^{^1}_{_{40}}} \ \therefore \ \boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{3}{8}}}}}$